二面角的求法例题带图 二面角的求法

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1、二面角的求法例题带图二面角的求法二面角的求法1.33引言二面角及其平面角的概念是立体几何最重要的概念之一，在历年高考中几乎都要涉及.尤其是在数学新课改的大环境下，要求对二面角求法的掌握变得更加灵活.二面角的概念发展、完善了空间角的概念；而二面角的平面角不但定量描述了两相交平面的相对位置，同时它也是空间中线线、线面、面面位置关系的一个汇集点.研究二面角的求法，可以进一步培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力，为培养学生的创新意识和创新能力提供了一个良好的契机.在求解二面角的问题中，通常首先要定位出二面角的平面角，而这也是学生在解题中感到最为陌生和棘手的问题.特别是若二面角的楞隐

2、而不露其解题的难度又会增大.本文从二面角的概念定义入手，通过分类求解二面角的题型类别，探寻二面角的解题思路，并对二面角求解方法加以总结归类.1.1二面角的相关概念新教材[1]在二面角中给出的定义如下：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.定义只给出二面角的定性描述，关于二面角的定量刻画还必须放到二面角的平面角中去研究.教材如下给出了二面角的平面角的概念：图1二面角的平面角是指在二面角a-l-b的棱上任取一点O，分别在两个半平面内作射线AO^l,BO^l，则ÐAOB为二面角a-l-b的平面角.2.二面角的求解方法对二面角的求解通常是先定位二面角的平面角，从而将三维

3、空间中的求角问题转化为二维空间并可以通过三角形的边角问题加以解决.定位出二面角为解题的关键环节，下面就二面角求解的步骤做初步介绍：一、“找”：找出图形中二面角，若不能直接找到可以通过作辅助线补全图形定位二面角的平面角二、“证”：证明所找出的二面角就是该二面角的平面角33三、“算”：计算出该平面角由于定位二面角的难度较大，对于求解二面角还有一种思路就是绕开定位二面角这一环节，通过一些等价的结论或公式或用空间向量等方法来直接求出二面角的大小.本文将根据这两种解题思路对二面角的解题方法做一一介绍.2.1定位二面角的平面角，求解二面角二面角常见题型中根据所求两面是否有公共棱可分为两

4、类：有棱二面角、无棱二面角.对于前者的二面角的定位通常采用找点、连线或平移等手段来定位出二面角的平面角；而对于无棱二面角我们还必须通过构造图形如延展平面或找公垂面等方法使其有“无棱”而“现棱”再进一步定位二面角的平面角.2.1.1直接法1对于图形中已有二面角的平面角，只要加以证明认定，然后可直接计算求解.例1[2]如图2，已知PA^面ABC，AB^BC,PC的垂直平分线DE交AC于D，交PC于E.PA=AB=1,PB=BC求二面角E-BD-C的大小.解：由PE=EC,PB=BC知PC^BE,且PC^DE,可知PC^面BDE.因BD⊆面BDE可得BD^PC.由PA^面ABC,

5、BD^面ABC知BD^PA，且BD^PC知BD^面PAC.又因DE,DC⊆面PAC,故知BD^DE,BD^DC.于是可知∠33CDE是二面角E-BD-C的平面角.由PA=AB=1得PB=BC=2.因PA^面ABC,BC^AB,°PEDAC图2B有BC^PB,可得PC=2.在RT∆PAC中，∠ACP=30,可得在RT∆CDE中，∠CDE=60.所以二面角E-BD-C的大小为602.1.2定义法根据二面角平面角的定义，其解题步骤一般既是：定棱，找点，连线，解答。即：在二面角棱上选择恰当的点，过此点作出二面角的平面角，如抓住共底的等腰三角形的性质选择公共棱的中点连接得到二面角；在

6、两个平面为共底且对应全等的三角形，可以选择公共垂足连线得到二面角的平面角等。例2在如图3所示的三棱锥P-ABC中，AB=AC=PB=PC=2,BC=22,PA=2.求二面33角P-BC-A的大小.解：作BC中点D，连接PD,AD.因PB=PC=AB=AC，知PD^BC,AD^BC,又有面PBC与面ABC共棱可得∠PDA为二面角.P-BC-A的平面角.而AB=2,BC=22,易知33AD=PD=2,在RT∆PAD中，cosÐPDA=PD2°°PAD图3CB+AD2-PA22PD×AD°=12所以二面角P-BC-A的大小为60.2.1.3三垂线（逆）定理法根据三垂线定理及其逆定

7、理，如图4所2A图4示在半平面a内找一点P，作PO^面b于O,并从垂足O作棱l的垂线OA交棱于A点，连接PA,则∠PAO就是二面角a-l-b的平面角.例3在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O1为面A1B1C1D1中心，求二面角O1-AC1-D1的大小.解：在正方体ABCD-A1B1C1D1中B1D1^A1C1,且A1C1^B1D1,B1D1Ì面A1B1C1D1,故B1D1^AC1，B1D1^A1C133又A1C1,AC1Ì面AC1A1,可知B1D1^AC1A1D1A1C1过D1作D1M^AC1于M，连接O1M则