二面角的求法初探

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1、二面角的求法初探一、利用定义作出二面角的平面角，并设法求出其大小　　例1、如图,已知二面角α-а-β等于120°,PA⊥α,A∈α,PB⊥β,B∈β.求∠APB的大小.　　解:设平面∩PABα=OA,平面PAB∩β=OB。　　∵PA⊥α,аα∴PA⊥а　　同理PB⊥а∴а⊥平面PAB　　又∵OA平面PAB∴а⊥OA　　同理а⊥OB.　　∴∠AOB是二面角α-а-β的平面角.　　在四边形PAOB中,∠AOB=120°,　　∠PAO=∠POB=90°,所以∠APB=60°　　二、垂线定理（逆定理）法　　由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂

2、直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角。　　例2、如图，ΔABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，平面ABC外一点P在平面ABC内的射影是AB中点M，二面角P—AC—B的大小为45°。求（1）二面角P—BC—A的大小；（2）二面角C—PB—A的大小　　解：∵PM丄平面ABC，AC丄AB，　　∴由三垂线定理得：AC丄AP，　　∴∠PAB是二面角P—AC—B的平面角，　　即∠PAB=45°，　　又AM=1[]2AB=2.∴PM=2　　作MD丄BC于D，连PD，　　则PD丄BC，　　故∠PDM是二面角P—

3、BC—A的平面角　　RtΔMBD∽RtΔCAB　　BM：BC=MD：CA又BC=5，MD=6[]5　　在RtΔPDM中，tg∠PDM=PM[]DM=5[]3，　　故∠PDM=arctg5[]3，即二面角P—BC—A的大小为arctg5[]3。　　（2）∵PM丄平面ABC，BM=MA，∴PA=PB，又∠PAB=45°∴PM丄PA，　　又PM丄平面ABC，BM丄AC，∴PB丄PA，　　又PM丄平面ABC，BM丄AC∴PB丄AC，　　故PB丄平面PAC，∴PB丄PC，即∠APC是二面C—PB—A的平面角，　　在RtΔPAB中，∠PAC=90°，AC=3，PA=

4、2，AM=22，∴tg∠APC=32[]4因此二面角C—PB—A的大小为arctg32[]4。　　三、平移或延长（展）线（面）法　　将图形中有关线段或平面进行平移或延长（展），以其得到二面角的两个平面的交线。　　例3、正三角形ABC的边长为10，A∈平面α，B、C在平面α的同侧，且与α的距离分别是4和2，求平面ABC与α所成的角的正弦值。　　解：设E、F分别为B、C的射影，连EF并延长交BC延长线于D，连AD；AE　　∵E、F是B、C射影∴BE丄α；∵CF丄α∴BE∥CF又CF：BE=1[]2，　　∴C是BD的中点∴BC=DC，　　∵ΔABC是正三角形∴

5、∠B=∠BCA=∠BAC=60°，又∠ACB+∠ACD=180°，　　∴∠ACD=120°又AC=DC，∴∠CAD=∠CDA=30°，又∠BAD=∠BAC+∠CAD，　　∴∠BAD=90°，∴BA丄AD，　　又∵AE是AB在平面α上的射影，　　∴AE⊥AD又BA⊥AD，平面ABC∩平面α=A，∴∠BAE是平面ABC与α所成的角，　　∴BE⊥平面α，∴BE⊥AE，∴ΔABC是RtΔ　　Sin∠BAE=BE：AB=2[]5，即平面ABC与α所成角的正弦值为2[]5。　　四、找（作）公垂面法　　由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个

6、面的交线所成的角，就是二面角的平面角。　　例4、如图，已知PA与正方形ABCD所在平面垂直，且AB＝PA，求平面PAB与平面PCD所成的二面角的大小。　　解:∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．　　又CD⊥AD，故CD⊥平面PAD．　　而CD平面PCD，　　所以平面PCD⊥平面PAD．　　同理可证平面PAB⊥平面PAD．　　因为平面PCD∩平面PAD＝PD，平面PAB∩平面PAD＝PA，所以PA、PD与所求二面角的棱均垂直，即∠APD为所求二面角的平面角，且∠APD＝45°