二面角求法大全

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1、二面角求法之面面观求解二面角是立体几何中最基本、最重要的题型，也是各地高考中的“热点”问题，虽然对此可说是“千锤百炼”，但我们必须面对新的情境、新的变化，如何以基本方法的“不变”去应对题目中的“万变”就是我们研究的中心话题.总的来说，求解二面角的大体步骤为：“作、证、求”.其中“作、证”是关键也是难点，“求”依靠的计算，也决不能忽视，否则因小失大，功亏一篑，也是十分遗憾之事.1定义法即在二面角的棱上找一点，在二面角的两个面内分别作棱的射线即得二面角的平面角.定义法是“众法之源”，万变不离其宗，“树高千尺，叶落归根”，求二面角的一切方法盖源出定义这个“根”！.DB1图1AOA

2、1CBD1C1O1例1正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角A-BD-C1的正切值为.分析与略解：“小题”不必“大做”，由图1知所求二面角为二面角C-BD-C1的“补角”.教材中根本就没有“二面角的补角”这个概念，但通过几何直观又很容易理解其意义，这就叫做直觉思维，在立体几何中必须发展这种重要的思维能力.易知∠COC1是二面角C-BD-C1的平面角，且tan∠COC1=。将题目略作变化，二面角A1-BD-C1的余弦值为.在图1中，∠A1OC1是二面角A1-BD-C1的平面角，设出正方体的棱长，用余弦定理易求得MAFA1QPBCECBPEF图2(2)图2(1)Qcos∠

3、A1OC1=例2(2006年江苏试题)如图2(1)，在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC上的点，满足AE：EB=CF：FA=CP：BP=1：2.如图2(2)，将△AEF折起到△A1EF的位置，使二面角A1-EF-B成直二面角，连接A1B、A1P.(Ⅰ)与(Ⅱ)略；(Ⅲ)求二面角B-A1P-F的余弦值。分析与略解：在例1中，图形的对称和谐状态对解题产生了很好的启迪作用，在这里更离不开图形的这种对称和谐性.若取BP的中点Q，连接EQ，则在正三角形ABC中，很容易证得△BEQ≌△PEQ≌△PEF≌△AEF，那么在图2(2)中，有A1Q=A1F.作FM⊥A1P于M，

4、连接QH、QF，则易得△A1QP≌△A1FP，△QMP≌△FMP，所以∠PMQ=∠PMF=90o，∠QMF为二面角B-A1P-F的平面角，使题解取得了突破性的进展.设正三角形的边长为3，依次可求得A1P=，QM=FM=，在△QMF中，由余弦定理得cos∠QMF=。练习：2011广东高考理18.(本小题满分13分)如图5.在锥体P-ABCD中，ABCD是边长为1的菱形，4且∠DAB=60，,PB=2,E,F分别是BC,PC的中点.PAＳBＳCＳDＳFGPAＳBＳCＳDＳFE(1)证明：AD平面DEF;(2)求二面角P-AD-B的余弦值.解：(2)由（1）知为二面角的平面角，在

5、中，；在中，；在中，.2三垂线法这是最典型也是最常用的方法，当然此法仍扎“根”于二面角平面角的定义.A图3PBl此法最基本的一个模型为：如图3，设锐二面角，过面内一点P作PA⊥于A，作AB⊥l于B，连接PB，由三垂线定理得PB⊥l，则∠PBA为二面角的平面角，故称此法为三垂线法.最重要的是在“变形(形状改变)”和“变位(位置变化)”中能迅速作出所求二面角的平面角，再在该角所在的三角形(最好是直角三角形，如图3中的Rt△PAB)中求解.对于钝二面角也完全可以用这种方法，锐角的补角不就是钝角吗？图4B1AA1BlEF例3(2006年陕西试题)如图4，平面⊥平面，∩=l，A∈，B

6、∈，点A在直线l上的射影为A1，点B在l的射影为B1，已知AB=2，AA1=1，BB1=，求：(Ⅰ)略；(Ⅱ)二面角A1－AB－B1的正弦值.分析与略解：所求二面角的棱为AB，不像图3的那样一看就明白的状态，但本质却是一样的，对本质的观察能力反映的是思维的深刻性.作A1E⊥AB1于AB1于E，则可证A1E⊥平面AB1B.过E作EF⊥AB交AB于F，连接A1F，则得A1F⊥AB，∴∠A1FE就是所求二面角的平面角.依次可求得AB1=B1B=，A1B=，A1E=，A1F=，则在Rt△A1EF中，sin∠A1FE==.与图3中的Rt△PAB比较，这里的Rt△A1EF就发生了“变形

7、”和“变位”，所以要有应对各种变化，乃至更复杂变化的思想准备.3垂面法P图5lCBA事实上，图1中的平面COC1、图2(2)中的平面QMF、图3中的平面PAB、图4中的平面A1FE都是相关二面角棱的垂面，这种通过作二面角棱的垂面得平面角的方法就叫做垂面法.在某些情况下用这种方法可取得良好的效果.4例4空间的点P到二面角的面、及棱l的距离分别为4、3、，求二面角的大小.分析与略解：如图5，分别作PA⊥于A，PB⊥于B，则易知l⊥平面PAB，设l∩平面PAB=C，连接PC，则l⊥PC.分别在Rt△PAC、Rt△PBC中