立体几何线面关系的常见规律.pdf

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1、立体几何线面关系的常见规律规律一：线线平行与线线垂直的判定1、直线与直线平行的判定方法：公理4：平行与同一条直线的两条直线互相平行直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线垂直与同一个平面，那么这两条直线平行直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两交线平行2、直线与直线垂直的判定方法：利用直线与平面垂直的定义来判定：如果一条直线垂直于一个平面，那么它就与平面内的任意一条直线

2、垂直例题1：(2012·南通调研)如图，在六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1∥CC1，A1B＝A1D，AB＝AD，求证：(1)AA1⊥BD(2)BB1∥DD1证明(1)取BD的中点M，连结AM，A1M.因为A1D＝A1B，AD＝AB，所以BD⊥AM，BD⊥A1M.又AM∩A1M＝M，AM，A1M⊂平面A1AM，所以BD⊥平面A1AM因为AA1⊂平面A1AM，所以AA1⊥BD.(2)因为AA1∥CC1，AA1⊄平面D1DCC1，CC1⊂平面D1DCC1，所以AA1∥平面D1DCC1.又AA1⊂平面A1AD

3、D1，平面A1ADD1∩平面D1DCC1＝DD1，所以AA1∥DD1.同理可得AA1∥BB1，所以BB1∥DD1.例题2：（13泰州期末）在三棱锥S-ABC中，SA平面3ABC，SA=AB=AC=BC,点D是BC边的中点，点E是线段AD3上一点，且AE=4DE,点M是线段SD上一点，求证：BCAM（1）求证：BC⊥AM；（2）若AM⊥平面SBC，求证EM∥平面ABS．证明：（1）∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∵SA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴SA⊥BC，SA∩AD=A，∴BC⊥平面SAD

4、∵AM⊂平面SAD，∴BC⊥AM．（2）∵AM⊥面SBC，SD⊂平面SBC⇒AM⊥SD，∵SA=AB=AC=BC，可设BC=3，SA=在△ABC中，cos∠A==-，∴∠A=∴AD=在Rt△SAD中，=2==，∴SM=4MD，∵AE=4ED，∴ME∥SA，ME⊄平面ABS，SA⊂平面ABS．∴EM∥平面ABS．方法小结：（1）要证明线线垂直有两条思路：第一条：把其中一条直线平移，使得两条直线在同一个平面，然后用平面几何的知识证明垂直即可；第二条：通过证明线面垂直证明。即证明其中一条直线垂直另一个直线所在的平面。

5、第二条思路用的较多，要熟练，第一条用的较少，但也不能忘（2）证明线线垂直也主要有两条思路，第一条：证明其中一条直线平行另一条直线所的平面，在用线面平行的性质；第二条：先证明两条直线所在的平面平行，再证明这两条直线为第三个平面与两平行平面所交的交线，即运用面面平行的性质定理。面面平行与线面平行的性质定理在证明过程中容易被学生忽视，所以教学过程中应引起重视同步练习1：在如图所示的多面体中，AA11//BB，CCACCC，BC．11（1）求证：CC1AB；（2）求证：CC11//AA．试题分析：（Ⅰ）由线线垂直

6、得到线面垂直，再根据直线所在的平面得到线线垂直；（Ⅱ）根据性质定理：“一条直线与一个平面平行，那么过这条直线作一个平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.”来证明.试题解析：（Ⅰ）证明：因为，，又，平面,所以平面.由于平面，所以.（Ⅱ）证明：因为，又平面，平面，所以平面，而平面，平面平面，所以．同步练习2：如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知平面AA1C1C平面ABCD,且ABBCCA3,ADCD1（1）求证：BD⊥AA1；（2）若E为棱BC的中点，求证：AE∥平面DCC1D1试题分析：

7、⑴要证明线线垂直，可转化为证明线面垂直，根据题中四边形中的条件，不难求得，又由题中已知条件，结合面面垂直的性质定理就可证得，进而得证;⑵要证明，根据线面平行的判定定理，可转化为证明线线平行，结合题中条件可证，在四形中，由并在三角形中结合余弦定理可求出和，即可证得，问题得证。试题解析：⑴在四边形中，因为，，所以，2分又平面平面，且平面平面，平面，所以平面，4分又因为平面，所以．7分⑵在三角形中，因为，且为中点，所以，9分又因为在四边形中，，，所以，，所以，所以，12分因为平面，平面，所以平面．14分同步练习3：（

8、13南京期初）如图，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC，D为BC的中点，求证：（1）若平面ABC⊥平面BCC1B1，求证：AD⊥DC1；（2）求证：A1B∥平面ADC1．证明：（1）因为AB=AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC．因为平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1=BC，AD⊂平面ABC，所以AD⊥平面BCC1B1．„（5分）因为DC1⊂平面BC