立体几何线面关系的常见规律

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1、立体几何线面关系的常见规律规律一：线线平行与线线垂直的判定1、直线与直线平行的判定方法：公理4：平行与同一条直线的两条直线互相平行直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线垂直与同一个平面，那么这两条直线平行直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两交线平行2、直线与直线垂直的判定方法：利用直线与平面垂直的定义来判定：如果一条直线垂直于一个平面，那么它就与平面内的

2、任意一条直线垂直例题1、如图，在六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1∥CC1，A1B＝A1D，AB＝AD.求证：(1)AA1⊥BD；(2)BB1∥DD1.证明：(1)取BD的中点M，连结AM，A1M.因为A1D＝A1B，AD＝AB，所以BD⊥AM，BD⊥A1M.又AM∩A1M＝M，AM，A1M⊂平面A1AM，所以BD⊥平面A1AM.因为AA1⊂平面A1AM，所以AA1⊥BD.(2)因为AA1∥CC1，AA1⊄平面D1DCC1，CC1⊂平面D1DCC1，所以AA1∥平面D1DCC1.又AA1⊂平

3、面A1ADD1，平面A1ADD1∩平面D1DCC1＝DD1，所以AA1∥DD1.同理可得AA1∥BB1，所以BB1∥DD1.例题2、在三棱锥S-ABC中，SA平面ABC，SA=AB=AC=,点D是BC边的中点，点E是线段AD上一点，且AE=4DE,点M是线段SD上一点，求证：BCAM方法小结：（1）要证明线线垂直有两条思路：第一条：把其中一条直线平移，使得两条直线在同一个平面，然后用平面几何的知识证明垂直即可；第二条：通过证明线面垂直证明。即证明其中一条直线垂直另一个直线所在的平面。第二条思路用的较

4、多，要熟练，第一条用的较少，但也不能忘（第16题图）（2）证明线线垂直也主要有两条思路，第一条：证明其中一条直线平行另一条直线所的平面，在用线面平行的性质；第二条：先证明两条直线所在的平面平行，再证明这两条直线为第三个平面与两平行平面所交的交线，即运用面面平行的性质定理。面面平行与线面平行的性质定理在证明过程中容易被学生忽视，所以教学过程中应引起重视同步练习1：在如图所示的多面体中，，．（1）求证：；（2）求证：．第16题图同步练习2：如图，在四棱柱中，已知平面平面且,.求证：ABCDA1B1C1(

5、第16题)同步练习3、如图，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC，D为BC的中点，若平面ABC⊥平面BCC1B1，求证：AD⊥DC1；规律二：线面平行的判定：方法一：直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行；方法二：平面与平面平行的定义：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任一条直线平行于另一个平面例题2、三棱柱中，面面，，D是BC的中点，M为上一动点．若，求证：∥平面；例题3、如图，已知▱ABCD，直线BC⊥平面ABE，F为CE

6、的中点．求证：直线AE∥平面BDF；例题4、在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2BC＝4，CD＝3，E为AB中点，过E作EF⊥CD，垂足为F，如(图1)，将此梯形沿EF折成一个直二面角A—EF—C，如(图2)．求证：BF∥平面ACD；方法小结：在证明线面平行有两条思路：第一：通过线面平行的判定，即在平面上找一条直线与已知直线平行，在平面上找直线与已知直线平行有三种方法：1、构造平行四边形；2、通过中位线寻找平行；3、通过比例关系找平行相似。第二，当在已知平面找不出或很难找出直线与已知直线平行时

7、可以考虑用面面平行的性质来证明，即过已知直线构造平面与已知平面平行。同步练习1：在正三棱柱中，点是的中点，．求证：∥平面；同步练习2：如图，直三棱柱ABCA′B′C′，∠BAC＝90°，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．证明：MN∥平面A′ACC′；证明　法一　连接AB′，AC′，如图，由已知∠BAC＝90°，AB＝AC，三棱柱ABCA′B′C′为直三棱柱，所以M为AB′中点．又因为N为B′C′的中点，所以MN∥AC′.又MN⊄平面A′ACC′，AC′⊂平面A′ACC′，因此MN∥平面A′ACC

8、′.法二　取A′B′的中点P，连接MP，NP，AB′，如图，而M，N分别为AB′与B′C′的中点，所以MP∥AA′，PN∥A′C′，所以MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′.又MP∩NP＝P，因此平面MPN∥平面A′ACC′.而MN⊂平面MPN，因此MN∥平面A′ACC′.同步练习3、如图，在四面体ABCD中，F，E，H分别是棱AB，BD，AC的中点，G为DE的中点．证明：直线HG∥平面CEF.证明　法一　如图1，连接BH，BH与CF交于K，连接EK.∵F，