立体几何——点线面的位置关系

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1、点线面的位置关系（1）四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。符号语言：。公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。三个推论：①经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面②经过两条相交直线，有且只有一个平面③经过两条平行直线，有且只有一个平面它给出了确定一个平面的依据。公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（两个平面的交线）。符号语言：。公理4：（平行线的传递性）平行与同一直线的两条直线互相平行。符号语言：。（2）空间中直线与直线之间

2、的位置关系1.概念异面直线及夹角：把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。已知两条异面直线，经过空间任意一点O作直线，我们把与所成的角（或直角）叫异面直线所成的夹角。（易知：夹角范围）公理4：（平行线的传递性）平行与同一直线的两条直线互相平行。符号语言：。定理：空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。（注意：会画两个角互补的图形）2.位置关系：（3）空间中直线与平面之间的位置关系直线与平面的位置关系有三种：（4）空间中平面与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系有两种：考点1

3、:点，线，面之间的位置关系例1.(2014辽宁,4,5分)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是(　　)A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m⊥α,n⊂α,则m⊥nC.若m⊥α,m⊥n,则n∥αD.若m∥α,m⊥n,则n⊥α[答案]1.B[解析]1.A选项m、n也可以相交或异面,C选项也可以n⊂α,D选项也可以n∥α或n与α斜交.根据线面垂直的性质可知选B.例2.(2014山东青岛高三第一次模拟考试,5)设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题正确的是（  ）A．若则　　B．若则C．若则　

4、　D．若则[答案]2. D[解析]2.A选项不正确，因为是可能的；B选项不正确，因为，时，，都是可能的；C选项不正确，因为，时，可能有；D选项正确，可由面面垂直的判定定理证明其是正确的．故选D例3.(2014广西桂林中学高三2月月考，4)设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面．下列命题中正确的是(   )(A)　   (B)(C)　　 (D)[答案]3. D[解析]3. 若，则平面与垂直或相交或平行，故（A)错误；若，则直线与相交或平行或异面，故（B)错误；若，则直线与平面垂直或相交或平行，故（C)错误；若，则直线，

5、故（D)正确.选D.例4.(2014周宁、政和一中第四次联考，7)设表示不同的直线，表示不同的平面，给出下列四个命题：　　①若∥，且则；    ②若∥，且∥.则∥；③若，则∥∥；④若且∥,则∥.其中正确命题的个数是 （ ）A．1　　     B．2　　   C．3　　  D．4[答案]4. B[解析]4. ①正确；②直线或，错误；③错误，因为正方体有公共端点的三条棱两两垂直；④正确.故真正确的是①④，共2个.2.空间几何平行关系转化关系：直线、平面平行的判定及其性质归纳总结定理定理内容符号表示分析解决问题的常用方法直线

6、与平面平行的判定平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行在已知平面内“找出”一条直线与已知直线平行就可以判定直线与平面平行。即将“空间问题”转化为“平面问题”平面与平面平行的判定一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行判定的关键：在一个已知平面内“找出”两条相交直线与另一平面平行。即将“面面平行问题”转化为“线面平行问题”直线与平面平行的性质一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行平面与平面平行的性质如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交

7、线平行1.证明线线平行的方法：（平行线的传递性）平行与同一直线的两条直线互相平行。即公理4证明这条两条直线的方向量共线。如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。即面面平行的性质。2．证明直线和平面相互平行的方法证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；证明这条直线的方向量和这个平面内的一个向量相互平行；证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂直。3．证明两平面平行的方法：（1）利用定义证明。利用反证法，假设两平面不平行，则它们必相交，再导出矛盾。（2）判定定理：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个

8、平面，则这两个平面平行，这个定理可简记为线面平行则面面平行。用符号表示是：a∩b，aα，bα，a∥β，b∥β，则α∥β。（3）垂直于同一直线的两个平面平行。用符号表示是：a⊥α，a⊥β则α∥β。（4）平行于同一个平面的两个平面平行。4.两个平面平行的性质有五条：（1）两个平面平行，其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面，这个定