哈弗氏密质骨含单条径向微裂纹问题的奇异积分方程数值解法_王旭.pdf

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1、第３９卷第４期西南大学学报（自然科学版）２０１７年４月Ｖｏｌ．３９Ｎｏ．４ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｏｕｔｈｗｅｓｔＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）Ａｐｒ．２０１７ＤＯＩ：１０．１３７１８／ｊ．ｃｎｋｉ．ｘｄｚｋ．２０１７．０４．０１０哈弗氏密质骨含单条径向微裂纹问题的奇异积分方程数值解法①王旭１，李星２１．宁夏大学民族预科教育学院，银川７５０００２；２．宁夏大学数学统计学院，银川７５００２１摘要：研究了在双轴拉伸载荷下哈弗氏密质骨间质骨含单条径向微裂纹的平面应变问题．通过利用奇异积分方程方法，得到了该问题所满足的奇异积分方程组，给

2、出了微裂纹尖端应力强度因子的表达式．数值计算讨论了哈弗氏密质骨的材料和几何参数对微裂纹尖端应力强度因子的影响．数值结果表明软骨单位促进微裂纹扩展，而硬骨单位抑制微裂纹扩展，但这种影响仅局限在骨单位附近．关键词：哈弗氏密质骨；微裂纹；奇异积分方程；应力强度因子中图分类号：Ｏ１７５．５文献标志码：Ａ文章编号：１６７３－９８６８（２０１７）０４－００６４－０６文献［１－２］研究了骨头的分层结构，骨组织可分为密质骨和松质骨．哈弗氏密质骨由骨单位和间质骨组成．骨单位是由同心圆排列的骨板围成的长筒状结构，中心有一纵向的哈弗氏管，内含血管和神经．间质［３－４］骨位于骨单位之

3、间，形状不规则，是旧的骨单位在骨的改建过程中被吸收后残留的部分．由于哈弗氏管和骨单位的微观结构对密质骨力学性能有重要影响，因而模型考虑了这些微观结构．从微观结构和力学行［５］为出发，哈弗氏密质骨与纤维涂层复合材料相似：哈弗氏管与纤维类似，骨单位与涂层类似，间质骨与基类似，粘合线相当于界面．因而，可以将密质骨的分层结构与纤维涂层复合材料类比．文献［６－７］研究了骨的疲劳现象，这种现象在医学上被认为是应力断裂．由于日常运动的循环载荷，［８－９］［１０－１２］骨组织的微观损伤以微裂纹的形式表现出来．实验方法常用来研究骨单位的结构和断裂．骨的微［１２］结构有利于微裂纹

4、的萌生，但骨单位阻碍密质骨中微裂纹的扩展，这种作用还依赖于微裂纹的长［１１－１２］度．计算机模拟，尤其是有限元方法已应用于密质骨断裂力学问题的研究．文献［１３］利用有限元方法模拟了哈弗氏密质骨骨单位附近微裂纹的扩展．理论研究，尤其是奇异积分方程方法也应用于密质骨断裂［４，１４－１５］力学问题的研究．文献［４］研究了密质骨骨单位与单条微裂纹的相互作用，结果表明软骨单位有利［４］于微裂纹的扩展，而硬骨单位阻碍微裂纹沿着骨单位扩展．文献［１４－１５］研究了多个微裂纹与骨单位的相互作用，结果表明这种相互作用仅局限在骨单位附近，同时也分析了不同形态下，微裂纹相互作用的增

5、强和屏蔽作用．但是，理论上对哈弗氏密质骨间质骨含微裂纹问题还没有研究过，因而有必要利用奇异积分方程方法研究哈弗氏密质骨间质骨含微裂纹问题．１模型描述如图１所示，考虑了在骨单位附近，哈弗氏密质骨间质骨含单条径向微裂纹在无穷远处受双轴拉伸载荷σ０的平面应变问题．哈弗氏管位于骨单位中央，其半径为ａ，剪切模量为Ｇ１，常数Ｋ１＝３－４ｖ１．骨单位的厚度为ｂ－ａ，其剪切模量为Ｇ２，常数Ｋ２＝３－４ｖ２．间质骨的剪切模量为Ｇ３，常数Ｋ３＝３－４ｖ３，其中①收稿日期：２０１５－０２－０４基金项目：宁夏大学自然科学基金资助项目（ＺＲ１４４６）；国家自然科学基金项目（１１３６２０

6、１８）．作者简介：王旭（１９８５－），男，宁夏西吉人，讲师，主要从事复分析理论及其在力学中的应用的研究．通信作者：李星，教授．第４期王旭，等：哈弗氏密质骨含单条径向微裂纹问题的奇异积分方程数值解法６５ｖ１，ｖ２和ｖ３是泊松比．基于线弹性断裂力学理论，将微裂纹看成是由连续分布的位错构成的，利用奇异积分方程方法，求出［１６－１７］该模型所满足的奇异积分方程组．利用高斯切比雪夫求积公式，对该方程组进行数值求解，讨论密质骨材料和几何参数对微裂纹尖端应力强度因子的影响．图１哈弗氏密质骨含径向微裂纹力学模型２模型求解如图１，哈弗氏密质骨含径向微裂纹力学模型的求解可看成是以

7、下两个基本问题Ａ和Ｂ的叠加：问题Ａ哈弗氏管和骨单位镶嵌在间质骨中，间质骨不含微裂纹，哈弗氏密质骨含径向微裂纹力学模型的边界条件为σｒｒ＝σ０｛（１）ｒ→∞σｒθ＝０问题Ｂ考虑间质骨含径向直线微裂纹的应力分布问题．问题Ｂ里，外载荷只有微裂纹表面的牵引力，这个牵引力与问题Ａ在虚裂纹位置的应力大小相等，方向相反．哈弗氏管、骨单位和间质骨界面的牵引力和位移连续条件为：（１）（１）（２）（２）σｒｒ（τ）＋ｉσｒθ（τ）＝σｒｒ（τ）＋ｉσｒθ（τ）（２）（１）（１）（２）（２）ｕｘ（τ）ｕｙ（τ）ｕｘ（τ）ｕｙ（τ）＋ｉ＝＋ｉ（３）θθθθ其中τ＝ａｅ

8、ｉθ，０≤θ≤２π．（２）（２）（３）