求解奇异问题的几种数值解法

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1、求解奇异问题的几种常见数值解法摘要：非线性问题时近代数学研究的主流之一，而求解Banach空间中非线性方程=0的算法问题，由于其具有广泛的实际背景和重要的理论价值，一直是数值工作者感兴趣的问题之一的。本文共分三个部分，第一章介绍了国内外有关求解奇异问题的发展状况、课题背景、主要意义。第二章简要的介绍了求解非线性方程奇异问题的几种数值解法，例如：一类Chord法求解奇异问题、Halley法、Chebyshev法、Supper-Halley法。由于Chord法计算量小，并且当利用Matlab运算时既简单又方便

2、，本章在零空间为一维的情况下介绍了一类Chord法的收敛性的证明。最后，简明扼要地总结了本文论述的主要内容、应用及理论价值。关键词：　数值解法；奇异问题；收敛性不要删除行尾的分节符，此行不会被打印-I-千万不要删除行尾的分节符，此行不会被打印。在目录上点右键“更新域”，然后“更新整个目录”。打印前，不要忘记把上面“Abstract”这一行后加一空行-II-1.绪论1.1课题背景现代科学技术的发展使数值计算日趋重要，数值计算方法是研究数学问题的数值求解方法，包括科学计算、系统模拟等领域，在很多的实际工程问题

3、中，许多问题可归结为求解非线性方程的求解问题。在当今时代，随着计算机的出现与普及以及数学研究本身的发展与完完善，线性问题的研究已趋于完善，各种非线性问题的求解成为数学研究者研究的对象，也引起了科学工作者和工程人员的兴趣和重视。尤其在近代物理和科学计算中的一些关键问题归根结底都依赖于某些特定的非线性方程的求解。因此，无论在理论研究方面，还是在实际工程应用中，非线性方程的求解都占有相当重要的地位，是数学研究者必须面对的问题。非线性问题具有广泛放入实际背景和重要的理论价值，是近代数学研究的主流之一，非线性方程的

4、数值解法又是非线性问题研究的一个重要的方向。因此，非线性问题一直是数值工作者乃至基础数学大家，如Smale和Kantorovich等人所感兴趣并参与研究的热门课题之一。迭代法一直是求解非线性方程的重要手段之一。对于非奇异问题，以牛顿为代表的迭代方法一直是非线性问题的求解的重要方法，求解非奇异问题也是非线性问题求解的重要领域。在求解方程的牛顿迭代法及其变形的研究中，许多著名学者，如王兴华、Smale和Kantorovich等，在加速迭代格式、收敛性和收敛速度方面取得了丰硕的成果。求解非线性非奇异问题的研究成

5、果主要表现在以下几个方面：一、一般来说，牛顿类迭代法为局部收敛的[1]，因此对初始值选取要求比较苛刻，如何构造大范围收敛的迭代格式成为牛顿法研究的一个热门课题。如，连续同伦法、单纯形方法等。二、为避免求逆运算，由此产生了一系列迭代技术。如，拟牛顿类方法和Chord法等。三、如何构造计算量少而收敛速度比较快的迭代格式。许多人在这方面做了大量的工作，产生了一系列变形算法；如，King-Werner方法、双曲迭代和切比雪夫迭代格式等，并且由此衍生了计算效率指数和计算复杂性的研究。四、代替牛顿法的区域性假设而用一

6、点信息，由此产生的点估计假设条件在近年来研究十分盛行。五、为减少内存和并行计算，人们尝试将大问题分为几个小问题计算，此方向研究例子，如分裂牛顿法。六、近年来，给出各种迭代格式的最佳误差估计也是人们十分感兴趣的课题。对许多方法已经得到了最佳误差估计，并且衍生了许多研究的技巧和方法。七、反问题中出现的方程均为病态，如何用牛顿类方法求解病态问题、收敛条件和格式构造也是十分热门的课题。-14-但在实际问题中有许多非线性方程，其解点处的导算子为一奇异算子，例如在优化问题中的鞍点、反应扩散系统、捕食和猎物生物模型、分

7、歧点和极限点等所导出的方程解点处的导算子为一奇异算子，因此，研究奇异问题的数值解法具有重要的实际意义。另一方面许多数值方法都是针对非奇异问题，讨论其收敛格式、收敛性、收敛速度的形态等，对于奇异问题讨论其解点附近的性态，对非线性问题的研究在理论上也是一种完善。为此，引起了人们的广泛兴趣和数值工作者的青睐，并且在近年取得了许多成就。1.2国内外研究现状在1966年，L.B.Rall首次提出在一元实函情况下，牛顿法在奇异点处的收敛性质，并发现牛顿法很有效而且能改成平方收敛[2]。对于一个一般空间，Cavanag

8、h于1970年假设在解点处的某一个去心邻域非奇异推广了Rall的结果。然而，Cananagh的条件是苛刻的并且实际应用的价值很低，要保证奇异情况下收敛的条件更为严格，直到1978年G.W.Reddien放宽了这个条件，提供了牛顿法的可行性。1980年Decker和Kelley将Reddien的结果推广到了零空间为有限维的情况。1983年Decker和Suresh在Newton法的基础上做了一些修改，得到了相应的收敛性[3]，1