导热问题的数值求解

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1、传热学：第四章导热问题的数值求解第四章导热问题的数值求解随着计算机的普及应用和性能的不断改善，以及相关的数值计算方法的发展和应用程序的开发，传热学数值计算方法作为数值求解传热问题的有效工具也得到了相应的发展，利用计算机求解传热学问题愈来愈受到人们的普遍重视，而且在计算复杂传热问题中显示出它的优越性，因而成为传热学的一个重要的分支。数值传热的相关内容也很自然地成为工程类学生学习传热学课程的不可缺少的部分。为了使学生能简要地掌握传热学数值计算的基本方法，在这里我们以导热问题为例对传热学数值计算方法做一个简单的

2、介绍。4-1导热问题数值解概述在第二章和第三章中我们对较为简单的导热问题，如一维、二维简单几何形状和边界条件的稳态导热和非稳态导热、以及一些特殊导热问题，象通过肋片的导热和忽略内阻的集总导热系统，进行了分析求解。然而对于一些更为复杂的导热问题，如复杂的几何形状和边界条件以及物性变化较大的情况，分析求解往往很复杂或者根本不可能。此时求解问题的唯一途径是利用数值分析的办法获得数值解。Δx10T3Δx2Δx3T2T1T0Δx0bdcaxT图4-1温度场的有限差分表示数值求解通常是对微分方程直接进行数值积分或者把

3、微分方程转化为一组代数方程组再求解。这里要介绍的是后一种方法。如何实现从微分方程到代数方程的转化又可以采用不同的数学方法，如有限差分法、有限元法和边界元法等。作为一本入门的教材，这里仅向读者简要地介绍用有限差分析方法从微分方程确立代数方程的处理过程。有限差分法的基本思想是把原来在时间和空间坐标中连续变化的物理量（如温度、压力、速度和热流等），用有限个离散点上的数值集合来近似表示。有限差分的数学基础是用差商代替微商（导数），而几何意义是用函数在某区域内的平均变化率代替函数的真实变化率。在图4-1中可以看出有

4、限差分表示的温度场与真实温度场的区别。图中用T0、T1、T2…表示连续的温度场T；Δx为步长，它将区域的x方向划分为有限个数的区域，Δx0、Δx1、Δx2…，它们可以相等，也可以不相等。当Δx相等时，T1处的真实变化率a可以用平均变化率b、c或d来表示，其中b、c和d分别表示三种不同差分格式下的温度随时间的变化率，即：b为向后差分格式；c为向前差分格式；17传热学：第四章导热问题的数值求解d为中心差分格式。这种差分格式也可以推广到高阶微商的情形。对于二阶微商的差分格式可以在一阶差分格式的基础上得出：。采用

5、这样的处理之后，反映温度场随时间、空间连续变化的微分方程就可以用反映离散点间温度线性变化规律的代数方程来表示。当利用相应的数学办法求解这些代数方程组之后，我们就能获得离散点上的温度值。这些温度值就可以近似表示温度场的连续的温度分布。从上面的分析不难看出，当我们要对导热问题进行数值求解时一定要采取三个大的步骤，即研究区域的离散化；离散点（节点）差分方程的建立；节点方程（代数方程）的求解。下面我们将导热问题的数值求解进行较为详细的讨论。4-2研究区域温度场的离散化SWENPSWENPSWENPτxy图4-2矩

6、形长柱体截面区域离散化K-1时刻K时刻K+1时刻ΔxΔy导热问题的温度场是假设为时间和空间的连续函数，当进行数值求解时首先要做的事情是在所研究的时间和空间区域内把时间和空间分割成为有限大小的小区域，尤如地球被人为地划分为不同的地域且冠以不同的名称，时间被年、月、日和时、分、秒分割。如果在所分割的每一个时间间隔和空间区域内均用同一个温度值来表示，那么原来连续变化的温度场就被一个离散的阶跃变化的温度分布所代替。这就是连续变化的温度场离散化处理的基本思路。这里我们以一个矩形长柱体的非稳态导热过程为例来讨论区域离

7、散化问题。如果不考虑矩形长柱体长度方向上的温度变化，那么它是一个二维非稳态导热问题，图4-2表示了长柱体矩形截面上区域离散化的情况。图中可见，对于给定的空间区域，在x方向上的步长为Δx，在y方向上的步长为Δy17传热学：第四章导热问题的数值求解，用它们作为空间尺度可以将矩形区域划分成纵横交错的网格，交点称为节点。然后以节点为中心，在两个节点的中心处划分界限，定出节点的控制面积，对于三维情况则为控制体积或控制容积，因而常在一般意义上称之为节点的控制体。控制体的形状是随着坐标系的不同而改变的，这里的控制体是一

8、个个的矩形面积。网格的步长在每一个方向上可以均匀划分，也可以不均匀的划分。因此，选用不同的步长和不同的划分方法，可以将同一区域划分出不同大小、不同数目的控制区域，以及不同数目的节点数。显然，随着步长的不断减小，节点数目的不断增加，由节点温度表示的离散的温度场就会更加接近连续的温度场，但计算工作量也会随之增加。在时间方向上离散化的步长常用Δτ来表示，Δτ的选取也是可大可小的，也可以随时间的进程而变化。显然，无限小的时间步长Δτ亦