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1、,。第期总第期。。。,年月森忿麒概低刚性方程的数值求解法一乔际岳自动化系提,。,当关联系统矩阵刁具有非常分散的特征值时就会出现刚性性质在这种情况下要想找。迄今尚无一种方法能合理地求解刚性方程。个稳定的数值求解微分方程的方法是非常困难的本,即仅对矩阵做一些乘方运算就能完成大量步数的数值计算文提出了一种特殊的方法此法将能用足够徽小的步长去保证计算方法的稳定与精度,因此能够解决线性刚性方程的求解。间趣、一刚性方程的稳定要求及其求解的途径,在研究化学动力学和网络分析中常遇一种具有刚性性质的微分方程组二。,它的系统关联矩阵的特征值几是非常分散的为了解这种分散性如何影响方程式
2、的解可将矩阵化为对角矩阵一。二、此对角矩阵的对角元素就是矩阵的特征值若定义就可得到一个与以上方程组等价的非偶合线性微分方程组此方程组中每个非偶合的微分方程的形式为几才,“。几了几‘二式中久就是特征值一般都是复数即上式的准确解一为,,·,。,尤、,一。。,当刀。时方程组的解岁‘。按照具有正负不同的符号解灸具有衰减。,,或增长的指数形式当刀笋时则必存在一与几成对的共扼特征值儿气其相应的解。,‘。。,刀,为一按指数衰减或增长的正弦分量,。刚性方程的各特征值几非常分散所相差的数量级在理论上可以是任意的因此刚性,。,方程的全部解答巾混杂着各种快速与慢变的分量用数值法求解刚性
3、方程时如何适当地中由抽挂才体举报年月,。将时间变量离散化存在着极大的困难,为研究刚性方程的数值解法先讨论一下有关计算方法的稳定性问题设步长与特征。,,。值几的乘积为碱因几刀为复数步长为标量故也是复数据对数值计,。,算方法研究的结果可知汀在复平面内能使某一数值计是决定稳定性的一个主要参数。,算方法绝对稳定的点的集合称为该方法的绝对稳定区对于一般非刚性方程由于各特征值久,的数值都非常集中在很接近的数量级范围因此它的稳定区容易限制在复平面内的一个较小。,。,的面积中对于刚性方程情况则大有差异其特征值可为任意大小的数值若步长受到步,。数的限制则几的数值儿乎可以出现在整个复
4、平面中的任意地方因此解刚性方程的。计算方法所要求的绝对稳定区远远超过解非刚性方程所要求的稳定区这就是解刚性方程的困难之处。,。“为进一步讨论刚性方程的稳定情况可将复平面分为右半平面与左半平面对于的,。,。。。开右半平面应有相应的特征值实数部份为以全此区域中方程的解为。·“‘,,增长的指数砂或为按指数增加的正弦波形砂从脚显然微分方程的解按指数,的趋势无限止地增长则很难期望有一种计算方法在右半平面能有足够的精度而又保证绝对。,,,稳定我们只能在规定的精度下适当地限制特征值使其在一步之内不要增长得太快以。,。取得一个相对稳定的区域不符合这样限制的问题是得不到解决的,。,
5、关于在复平面的闭左半平面这是本文研究的重点在此区域中的实数部份受到。。,。会幻。的限制但它的虚数部份全幻则可在左半平面内任意取值因。。,此一种数值计算方法能够求解刚性方程必须满足稳定但据匆’的证明满足稳,。,定的方法不能超过二阶而二阶的计算方法精度不高目前在放松要求的情况下可采用,。稳定和吉尔稳定法求解刚性方程但毕竟不能普遍适用,。综上分析发现采用传统的方法求解刚性方程会遇到难以克服的困难其原因主要是由于,,逐步计算法对于步数有严格的限制使得步长不能灵活选取因而影响精度与稳定性进一。,,,步改善若能抛弃通常采用的逐步计算方式不受步数的限制则根据兄的关系就有两种途径
6、寻求新的计算方法解决刚性方程的数值计算问题。。,,计算方法的步长可任意选取当方程的特征值几很大时步长能无限地缩短使得几能保持在计算方法的绝对稳定区域内。。,选取一种在闭左半复平面能保证绝对稳定的方法利用缩短步长的办法将该方法的精度提高到符合规定的要求。,。据上听述可提出两种刚性方程求解的方案,一。其一以简单的一阶。了方法为基础此法的绝对稳定区在复平面内,。一,一,为个单位圆圆心在处将该法转变为一种适合简单计算的形式不论步,。,数有多大实际需要计算的工作量并不多因而对于刚性方程的任意特征值总可以找到一,。。,本合适的步长使得几位子单位圆内这就满足了稳定性的要求步长缩
7、短后计。,算精度也可大大提高这种措施能使一个简单的一阶计算方法全面满足计算刚性方程的要求。,以一,,其二一阶刁法为基础此法的稳定性特别理想在整个的复平面,,。内除了在右半平面内有一个不稳定的单位圆外其余部份都是绝对稳定的这就能满足刚第一期刚性方程的绪值求娜法‘。,,,性方程的稳定要求另外也可采用缩短步长的办法充分地提高其精度以满足实际的。需要,,,上列两种方案关键问题都要找到一种办法使得步长可以尽量缩短而整个计算工作量的增加并不多。下面将对这样的方法进行具体研究。、月‘二变换矩阵的数值法计算,大家都很熟悉标量一阶微分方程才的解由下式给出··“仁·。·。·”···“
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