刚性常微分问题的数值解法及编程

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1、创新实验论文题目:刚性常微分问题的数值解法课程名称：创新实验学院：理学院专业:数学与应用数学年级:应数131学号：1307010239234236姓名：袁蕊张蕾刘霖指导教师：罗贤兵2015年07月14日目录第一章绪论-3选题背景-3刚性问题的算法-3引言-4第二章刚性问题-5第三章预备知识-8第四章计算实验-15附页-20第一章绪论自然界和工程技术的很多现象，其数学模型是常微分方程（组）的初值问题，普通的常微分方程的数值解法已经比较成熟，理论比较完整，也有许多方法可供选择。但，有一类常微分方程组，求解值时遇

2、到相当大的困难，这类常微分方程组解的分量有的变化很快，有的变化缓慢，常常出现这种现象：变化快的分量很快趋于它的稳定值，而变化慢的分量缓慢趋于它的稳定值。从数值解的观点看来，当变化快时应该用小步长积分，当变化快的分量已趋于稳定，或者说已经没有变化快的分量时就应该用较大的步长积分，但是理论和实际都说明，很多方法特别是显示方法的步长任不能放大，否者便出现数值不稳定现象，即误差急剧增加，已致掩盖了真解，使求解过程无法继续进行。常微分方程组的这种性质叫做刚性，我们考虑一阶常微分方程初值问题的数值解法,(1.1)字：恥

3、）CIX⑷=y0常微分方程的解能用初等函数、特殊函数或它们的级数与积分形式表达的非常之少，用解析办法只能求解线性常系数等特征类型的常微分方程。在实际问题中归结出来的求解微分方程的方法只要依靠数值解法。所谓数值解法，就是通过某种离散化办法，将微分方程转化为差分方程来求解。求方程（2-1）的数值解，建立求J的近似值>，„的递推格式，由此求得解y(x：)在各节点的近似值，n=0,1,2，...。相邻两个节点的间距/?='+1称为步长，这时节点=xq+h/2。即对一系列离散节点=W."

4、的数值解法也称为差分方法。初值问题(1.1)的数值解法，可区分为两大类：(1)单步法：此类方法在计算x,:+1上的近似值时只用到了前一点x。上的信息。如Euler法、Runge-Kutta法和Taylor级数法这就是这类方法的典型代表。(2)多步法：此类方法在计算时，除了需要x,,点的信息外，还需要，…前面若干个点上的信息。线性多步法是这类方法的典型代表,本文讨论的是几种隐式方法(向后欧拉，梯形公式，改进欧拉)和隐式Runge-Kutta第二章刚性问题选取的步长h必须很小，满足h<1/100,才能保证绝对稳

5、定性要求。对于非线性常微分方程初值问题J/=/(x,y(x)),c/lX^o)=W，若初值问题是稳定的，即dy/dx<0.用欧拉法进行数值求解时，h应满足ll^/z<1。若M=maxdf_，h应满足h=2/Mo1办在方程组的情况下，例如一阶常系数线性方程组这里的A=IJ/sxs,yrCVph…久）7•记A的特征值为'，/^，…人，对稳定的初值问题应满足Re<0.用欧拉法数值求解时，为了保证计算的稳定性，h的选取应满足h

6、很小，这时计算不熟minRe2/i

7、-40x)我们对解式（1.3）编程作图，可以看出这组解在开始时刻变化激烈，随后逐渐进入稳态，对应于人，人的分量在解中的作用随时间x的推移越来越显得无足轻重。解式（1.3）程序和图像曲线（图1）如下面所示解程序：h1=ezplot(’(1/2)*exp(-2*x)+(1/2)*(cos(40*x)+sin(40*x))*exp(-40*x)’);axis([O1-11.5]);holdon;h2=ezplot(

8、(1/2)*exp(-2*x)-(1/2)*(cos(40*x)+sin(40*x))*exp(-

9、40*x)’);axis([01-11.5]);set(h2，’Color’，’r’)holdon;h3=ezplot(’-(cos(40*x)-sin(40*x))*exp(-40*x)

10、);axis([01-11.5]);set(h3，.Color.，.k.)holdonIegend(’yr，.y27y3')图像：图一由于在开始的一段时间量X，解曲线变化激烈，对方程进行数值求解时，自然要求数值有较高的精度，而