刚性常微分问题的数值解法及编程.doc

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1、创新实验论文题目：刚性常微分问题的数值解法课程名称：创新实验学院：理学院专业：数学与应用数学年级：应数131学号：1307010239234236姓名：袁蕊张蕾刘霖指导教师：罗贤兵2015年07月14日目录第一章绪论·············································3选题背景·········································3刚性问题的算法···································3引言·································

2、············4第二章刚性问题·········································5第三章预备知识·········································8第四章计算实验·········································15附页····················································20第一章绪论自然界和工程技术的很多现象,其数学模型是常微分方程（组）的初值问题，普通的常微分方程的数值解法已经比较成熟，理论

3、比较完整，也有许多方法可供选择。但，有一类常微分方程组，求解值时遇到相当大的困难，这类常微分方程组解的分量有的变化很快，有的变化缓慢，常常出现这种现象：变化快的分量很快趋于它的稳定值，而变化慢的分量缓慢趋于它的稳定值。从数值解的观点看来，当变化快时应该用小步长积分，当变化快的分量已趋于稳定，或者说已经没有变化快的分量时就应该用较大的步长积分，但是理论和实际都说明，很多方法特别是显示方法的步长任不能放大，否者便出现数值不稳定现象，即误差急剧增加，已致掩盖了真解，使求解过程无法继续进行。常微分方程组的这种性质叫做刚性，我们考虑一阶常微分方程初值问题的数值

4、解法。(1.1)常微分方程的解能用初等函数、特殊函数或它们的级数与积分形式表达的非常之少，用解析办法只能求解线性常系数等特征类型的常微分方程。在实际问题中归结出来的求解微分方程的方法只要依靠数值解法。所谓数值解法，就是通过某种离散化办法，将微分方程转化为差分方程来求解。求方程（2-1）的数值解，即对一系列离散节点建立求的近似值的递推格式，由此求得解y(x)在各节点的近似值，n=0，1,2，…。相邻两个节点的间距称为步长，这时节点。因此，这样得到的数值解法也称为差分方法。初值问题（1.1）的数值解法，可区分为两大类：（1）单步法：此类方法在计算上的近似

5、值时只用到了前一点上的信息。如Euler法、Runge-Kutta法和Taylor级数法这就是这类方法的典型代表。（2）多步法：此类方法在计算时，除了需要点的信息外，还需要前面若干个点上的信息。线性多步法是这类方法的典型代表。本文讨论的是几种隐式方法（向后欧拉，梯形公式，改进欧拉）和隐式Runge-Kutta第二章刚性问题选取的步长h必须很小，满足h＜1/100,才能保证绝对稳定性要求。对于非线性常微分方程初值问题若初值问题是稳定的，即dy/dx<0.用欧拉法进行数值求解时，h应满足。若，h应满足h=2/M。在方程组的情况下，例如一阶常系数线性方程组

6、这里的A=，y=.记A的特征值为，对稳定的初值问题应满足Re.用欧拉法数值求解时，为了保证计算的稳定性，h的选取应满足由下面的例子可以知道，当比值很大时，h很小，这时计算不熟很多，耗时很长，给实际计算带来了很大的困难。例，某一物理现象可归结为一个线性方程组（1.2）其中x为时间变量，而A的特征值分别为。方程（2-11）的解为（1.3）我们对解式（1.3）编程作图，可以看出这组解在开始时刻变化激烈，随后逐渐进入稳态，对应于的分量在解中的作用随时间x的推移越来越显得无足轻重。解式（1.3）程序和图像曲线（图1）如下面所示解程序：h1=ezplot('(1

7、/2)*exp(-2*x)+(1/2)*(cos(40*x)+sin(40*x))*exp(-40*x)');axis([0 1 -1 1.5]);hold on;h2=ezplot('(1/2)*exp(-2*x)-(1/2)*(cos(40*x)+sin(40*x))*exp(-40*x)');axis([0 1 -1 1.5]);set(h2,'Color','r')hold on;h3=ezplot('-(cos(40*x)-sin(40*x))*exp(-40*x)');axis([0 1 -1 1.5]);set(h3,'Color','

8、k')hold onlegend('y1','y2','y3')图像：图一由于在开始的一段时间量x，解曲线变