数值分析09-常微方程数值解法

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1、第八章常微分方程数值解法8-1阜师院数科院第八章常微分方程数值解法第八章目录§1欧拉（Euler）方法1.1Euler法及其简单改进1.2改进的Euler法§2龙格库塔（Runge-kutta）方法2.1龙格-库塔方法的基本思想2.2二阶龙格-库塔公式2.3高阶R-K公式2.4变步长R-K法§3线性多步法§4一阶方程组与高阶方程初值问题§5收敛性与稳定性2阜师院数科院第八章常微分方程数值解法第八章序许多科学技术问题，例如天文学中的星体运动，空间技术中的物体飞行，自动控制中的系统分析，力学中的振动，工程问题中的电路分析等，都可归结为常微分方程的初值问题。所谓初值问题，是函数及其必要

2、的导数在积分的起始点为已知的一类问题，一般形式为：我们先介绍简单的一阶问题：3阜师院数科院第八章常微分方程数值解法第八章序由常微分方程的理论可知：上述问题的解唯一存在。常微分方程求解求什么？应求一满足初值问题（8—1）的解函数y=y(x)，如对下列微分方程：《高等数学》中，微分方程求解，如对一阶微分方程：y=f(x,y)是求解解函数y=y(x)，使满足上述方程。但能够求出准确的解析函数y(x)的微分方程是很少的，《高数》中研究微分方程的求解，是分门别类讨论，对不同类型的微分方程，求解方法不一样，因此，要求解微分方程，首先必须认清类型。4阜师院数科院第八章常微分方程数值解法微分方

3、程数值解而常微分方程初值问题的数值解法，是要寻求解函数y(x)在一系列点y(xi)（离散点）:上y(xi)的近似值yi（i=1,2,…,n），并且还可由这些（xi,yi)（i=1,2,…,n）构造插值函数作为近似函数。上述离散点相邻两点间的距离hi=xi-1-xi称为步长，若hi都相等为一定数h,则称为定步长，否则为变步长。由于在实际问题和科学研究中遇到的微分方程往往很复杂，绝大多数很难，甚至不可能求出解析函数y(x)，因此只能考虑求其数值解。本章重点讨论如下一阶微分方程：在此基础上介绍一阶微分方程组与高阶微分方程的数值解法。5阜师院数科院第八章常微分方程数值解法§1欧拉（Eul

4、er）法以Euler法及其改进方法为例,说明常微分方程初值问题数值解法的一般概念，Euler法很简单，准确度也不高，介绍此方法的目的，是由于对它的分析讨论能够比较清楚地显示出方法的一些特点，而这些特点及基本方法反映了其它方法的特点。Euler法用于求解一阶微分方程初值问题：6阜师院数科院第八章常微分方程数值解法1.1Euler法及其简单改进Euler公式为：由x0出发x1,x2,…,xN，而利用此式可算出对应的y1,y2,…,yN，式（8-2）称为差分方程（序列{yn}满足的方程）。下面是Euler公式的推导：一、从几何意义出发：y=f(x,y)的解函数y=y(x)在xoy平

5、面上是一族解曲线，而初值问题则是其中一条积分曲线，假定y=y(x)的曲线如图8-1从给定的点P0(x0,y0)出发，以P0为切点，作切线，切线斜率为曲线y(x)的切线斜率y=f(x0,y0)，因此可得切线：（点斜式）P1P2y(x)P0x2x1x07阜师院数科院第八章常微分方程数值解法Euler公式的推导(续1）几何意义：用折线近似解曲线y=y(x)，折线不会偏离太远，因为每项以f(x,y)（斜率）修正。切线与x=x1交于P1(x1,y1)，在[x0,x1]上以切线近似曲线，8阜师院数科院第八章常微分方程数值解法Euler公式的推导（续2）二、利用Taylor级数：将y(x)在

6、xn处展开：9阜师院数科院第八章常微分方程数值解法Euler公式的推导（续3）公式（8-3）称为后退Euler公式所谓局部载断误差是指以yn代替y(xn)而得到y(xn+1)的近似值yn+1的误差（只估计这一步的误差）。三、利用数值微分公式：利用两点公式并且Euler公式的局部截断误差为:后退Euler公式的局部截断误差为:10阜师院数科院第八章常微分方程数值解法Euler公式的推导（续4）11阜师院数科院第八章常微分方程数值解法Euler公式的推导（续5）四、利用数值积分公式：在[xn,xn+1]上对y(x)=f(x,y(x))积分对右端积分项采用不同的数值积分公式，便可得到

7、各种不同的求解dE初值问题的计算公式。如，以矩形面积代替曲边梯形面积1）以左矩形面积代替曲边梯形面积如图8-2，亦即以yf(x,y)xnxxn+1图8-212阜师院数科院第八章常微分方程数值解法yf(x,y)xnxxn+1图8-3yf(x,y)xnxxn+1图8-43）以梯形公式（面积）代替曲边形如图8-4则有式（8-5）称为求dE初值问题的梯形公式，梯形公式看作是以（xn,yn）(xn+1,yn+1)构造的插值多项式代替被积函数得到的，而Euler公式则是以左端点函数值近似被积