2014高考数学(理)名师指导提能专训15 直线与圆锥曲线的综合问题].pdf

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1、提能专训(十五)直线与圆锥曲线的综合问题一、选择题1．抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，经过点F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l.垂足为K，则△AKF的面积是()A．4B．3C．4D．8C命题立意：本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和考生的运算能力．根据已知条件中的直线的斜率和所经过的点F，写出直线方程，从而通过解方程组求出点A的坐标，得到三角形的底边长与高，计算出三角形的面积．解题思路：由题意可知，抛物线的准线方程为x＝－1，抛物线的焦点坐标为(1,0)．直线AF的方程y

2、＝(x－1)，解方程组得或因为点A在x轴的上方，所以符合题意，即点A坐标为(3,2)，

3、AK

4、＝3＋1＝4，点F到直线AK的距离d即为点A的纵坐标2，因此S△AKF＝

5、AK

6、·d＝4.故选C.2．(2013·哈尔滨调研)已知双曲线C的右焦点F与抛物线y2＝8x的焦点相同，若以点F为圆心，为半径的圆与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为()A.－x2＝1B.－y2＝1C.－＝1D.－＝1D解题思路：设双曲线C的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，∵抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，即F(2,0)，∴4＝a

7、2＋b2.又圆F：(x－2)2＋y2＝2与双曲线C的渐近线y＝±x相切，由双曲线的对称性可，知圆心F到双曲线的渐近线的距离为＝，∴a2＝b2＝2，故双曲线C的方程为－＝1.故选D.3．(2013·太原市高三模拟一)已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，其前n项和Sn＝，则双曲线－＝1的渐近线方程为()A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±xC命题立意：本题主要考查裂项法求数列的前n项和与双曲线的性质等基础知识，意在考查考生的基本运算能力．解题思路：依题意得an＝－，因此Sn＝1－＝＝，n

8、＝9，故双曲线方程是－＝1，该双曲线的渐近线方程是y＝±x＝±x.故选C.4．(2013·郑州质检二)如图所示，F1，F2是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，以坐标原点O为圆心，

9、OF1

10、为半径的圆与该双曲线左支的两个交点分别为A，B，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为()A.＋1B.＋1C.D.B命题立意：本题主要考查圆的性质与双曲线的性质等知识，意在考查考生的基本运算能力．解题思路：连接AF1，依题意，得AF1⊥AF2，又∠AF2F1＝30°，∴

11、AF1

12、＝c，

13、AF2

14、＝c，∴该双

15、曲线的离心率e＝＝＝＋1.故选B.5．如图所示，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1，A2，B1，B2，焦点分别为F1，F2，延长B1F2与A2B2交于点P，若∠B1PA2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为()A.B.C.D.D命题立意：本题主要考查椭圆方程、椭圆的简单几何性质、向量的计算等基础知识，考查基本运算能力．解题思路：设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，∠B1PA2为钝角可转化为，的夹角为钝角，则(a，－b)·(－c，－b)＜0，得b2＜ac，即a2－c2＜ac，故2＋－1＞0，即e2＋e－

16、1＞0，e＞或e＜，又0＜e＜1，∴＜e＜1.故选D6．(长春一次调研)设e1，e2分别为具有公共焦点F1，F2的椭圆和双曲线的离心率，P是两曲线的一个公共点，且满足

17、＋

18、＝

19、

20、，则的值为()A.B．2C.D．1A解题思路：设

21、PF1

22、＝m，

23、PF2

24、＝n，

25、F1F2

26、＝2c，不妨设m＞n.由

27、＋

28、＝

29、

30、知，∠F1PF2＝90°，则m2＋n2＝4c2，∵e1＝，e2＝，∴＋＝＝2，∴＝.故选A.二、填空题7．(2013·甘肃示范学校高三调研)若双曲线－＝1渐近线上的一个动点P总在平面区域(x－m)2＋y2

31、≥16内，则实数m的取值范围是________．(－∞，－5]∪[5，＋∞)命题立意：本题主要考查双曲线的简单几何性质，直线与圆的位置关系，考查等价转化思想，考查分析问题、解决问题的能力．解题思路：问题等价于已知双曲线的渐近线4x±3y＝0与圆相离或者相切，故实数m满足≥4，即m≥5或者m≤－5.8．(2013·辽宁大连高三双基测试)已知双曲线的两条渐近线均和圆C：(x－1)2＋y2＝相切，且双曲线的右焦点为抛物线y2＝4x的焦点，则该双曲线的标准方程为________．－y2＝1命题立意：本题主要考查双

32、曲线和抛物线的标准方程、几何性质，点到直线的距离公式以及基本量间的关系等．解题思路：由题意可知双曲线中c＝.设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为kx－y＝0，根据圆心(1,0)到该直线的距离为半径，得k2＝，即＝.又a2＋b2＝()2，则a2＝4，b2＝1，所以所求的标准方程为－y2＝1.9．(2013·山西晋中名校高三联考)已知双曲线－＝1的焦点为F1，F2，点M在双曲线上且MF1⊥MF2，则点M到x轴的距离为