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1、专题六---双曲线一、知识点汇总定义(其中)标准方程-=1(a>0,b>0)-=1(a>0,b>0)图形性质范围x≥a或x≤-ay≤-a或y≥a对称性对称轴:坐标轴,对称中心:原点焦点F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)顶点(-a,0),(a,0)(0,-a),(0,a)轴长焦距=2c,实轴长=2a,虚轴长=2b三者间关系c2=a2+b2离心率e=且e>1渐近线y=±xy=±x等轴双曲线x2-y2=λ(λ≠0).①渐近线方程为:y=±x.②离心率为:e=.二、课前热身:判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)平面内到两定点的距离的差等于常数
2、(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线.( )(2)点A(1,0),B(-1,0),若
3、AC
4、-
5、BC
6、=2,则点C的轨迹是双曲线.( )(3)到两定点F1(-3,0)、F2(3,0)的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹是两条射线.( ) (4)双曲线方程中a,b分别为实、虚轴长.( )(5)方程-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x.( )(6)离心率e越大,双曲线-=1的渐近线的斜率绝对值越大.( )【答案】(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× (6)√三、典例分析题型一:双曲线定义的应用例1.(1)设动点M到A(-5,0)的距离与它到
7、B(5,0)的距离的差等于6,则P点的轨迹方程是( )A.-=1B.-=1C.-=1(x<0)D.-=1(x>0)【解析】 由双曲线的定义得,P点的轨迹是双曲线的一支.由已知得∴a=3,c=5,b=4.故P点的轨迹方程为-=1(x>0),因此选D.【答案】 D(2)双曲线的两个焦点分别是F1,F2,双曲线上一点P到F1的距离是12,则P到F2的距离是( )A.17 B.22C.7或17D.2或22【解析】 由双曲线方程-=1得a=5,∴
8、
9、PF1
10、-
11、PF2
12、
13、=2×5=10.又∵
14、PF1
15、=12,∴
16、PF2
17、=2(舍)或22.故选B【答案】 B(3)已知双曲线-=
18、1的焦点为F1,F2,点M在双曲线上,且MF1⊥x轴,则F1到直线F2M的距离为( )A.B.C.D.【解析】 不妨设点F1(-3,0),容易计算得出
19、MF1
20、==,
21、MF2
22、-
23、MF1
24、=2.解得
25、MF2
26、=.而
27、F1F2
28、=6,在直角三角形MF1F2中,由
29、MF1
30、·
31、F1F2
32、=
33、MF2
34、·d,求得F1到直线F2M的距离d为.故选C变式训练1:(1)已知圆M1:(x+4)2+y2=25,圆M2:(x-4)2+y2=1,一动圆P与这两个圆都外切,则动圆圆心P的轨迹方程为___________【解】 设动圆的半径是R,则由题意知两式相减得
35、PM1
36、-
37、PM2
38、=4<
39、
40、M1M2
41、=8,所以动圆圆心P的轨迹是以点M1(-4,0)、M2(4,0)为焦点的双曲线中靠近焦点M2(4,0)的一支.(2)已知F是双曲线-=1的左焦点,点A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则
42、PF
43、+
44、PA
45、的最小值为________.【答案】 9【解析】 设右焦点为F′,依题意,
46、PF
47、=
48、PF′
49、+4,∴
50、PF
51、+
52、PA
53、=
54、PF′
55、+4+
56、PA
57、=
58、PF′
59、+
60、PA
61、+4≥
62、AF′
63、+4=5+4=9.题型二:双曲线的标准方程例2.根据下列条件,求双曲线的标准方程:(1)a=2,经过点A(2,-5),焦点在y轴上;(2)与椭圆+=1有共同的焦点,它们的一个交点
64、的纵坐标为4;(3)求经过点(3,0),(-6,-3)的双曲线的标准方程.(4)虚轴长为12,离心率为;(5)顶点间距离为6,渐近线方程为y=±x;(6)与双曲线x2-2y2=2有公共渐近线,且过点M(2,-2).【解】 (1)因为双曲线的焦点在y轴上,所以可设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0).由题设知,a=2,且点A(2,-5)在双曲线上,所以解得a2=20,b2=16.故所求双曲线的标准方程为-=1.(2)椭圆+=1的两个焦点为F1(0,-3),F2(0,3),双曲线与椭圆的一个交点为(,4)或(-,4).设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),则解得
65、故所求双曲线的标准方程为-=1.(3)设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0),∵双曲线经过点(3,0),(-6,-3),∴解得故所求双曲线的标准方程为-=1.(4)设双曲线的标准方程为-=1或-=1(a>0,b>0).由题意知2b=12,=且c2=a2+b2,∴b=6,c=10,a=8.∴双曲线的标准方程为-=1或-=1.(5)当焦点在x轴上时,由=且a=3得b=.∴所求双曲线的标准方程为-=1.当焦点在y轴上时,由=且a=3得b=2.∴所求双曲线的标准方程为-=1.(6)设与双曲线-y2=1有公共渐近线的双曲线方程为