高二数学双曲线.doc

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1、高二数学双曲线　　　　一、知识要点：　　1.掌握双曲线的定义、标准方程。　　2.研究直线与双曲线的位置关系及应用。　　3.学习过程中注意类比椭圆的研究问题与方法：加深对圆锥曲线研究内容与研究方法的理解。　　二、典型例题：　　例1.　　(1)双曲线2mx2-my2=2的一条准线为y=1，求m　　(2)焦点在y轴的双曲线方程为nx2+my2=1，求焦点坐标。　　解：(1)　　所以　　(2)焦点坐标为　　例2.双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，一条渐近线为3x+5y=0，(1)求离心率；(2)若双曲线过点求双曲线方程。　　(1)[法1]若焦点在x轴上

2、，设双曲线为，由渐近线为3x+5y=0，　　若焦点在y轴上，设双曲线为，由渐近线为3x+5y=0　　　　[法2]共渐近线3x+5y=0的双曲线为　　　　　　(2)设　　总结：关于双曲线标准方程有以下结论：　　(1)与双曲线有相同渐近线的双曲线方程可表示为：　　(2)若渐近线方程，则双曲线的方程可表示为：　　(3)与双曲线共焦点的双曲线方程为　　(4)给两个已知点的双曲线的标准方程为　　(5)与椭圆有共同焦点的双曲线方程为　　利用上述结论，求关于双曲线的标准方程，可以简化解题过程，提高解题速度。　　例3.试确定直线y=k(x-1),(k∈R)与双曲

3、线x2-y2=4的公共点的个数。　　解：由　　(1)1-k2=0，即k=±1，方程[1]的解为，此时，直线与双曲线的渐近线平行，　　直线与双曲线右支交点的纵坐标为　　(2)1-k2≠0即k≠±1时，△=4k2+4(1-k2)(k2+4)=4(4-3k2)　　所以，当，直线与双曲线有两个公共点；　　(i)当k∈(-1,1)时，直线与双曲线的两支各交于一点，(ii)当时，直线与双曲线的右支交于两点；　　(3)4-3k2=0，即时，△=0，方程组有两个相同的实数解，直线与双曲线只有一公共点，称为直线与双曲线相切。　　(4)4-3k2<0，即，满足△<0

4、，方程组无实数解，此时，直线与双曲线没有公共点，称为直线与双曲线相离。　　点评：(1)掌握用方程研究直线与双曲线公共点个数的方法；　　(2)相交相离相切的定义、弦的概念　　(3)直线与双曲线的公共点只有一个是直线与双曲线相切的必要而非充分条件。　　(4)数形结合也是很好的方法，除代数解法外，要将几条分界线在图形中画出。　　(5)本题如改为y=k(x-1)，(k∈R)与有两个公共点，则　　(6)理解直线不可能和双曲线两支分别相切。　　例4.过双曲线的右焦点F作直线交双曲线于A、B两点，要使

5、AB

6、=8，这样的直线有几条？　　解：利用焦半径。和双曲线

7、的两支交：两条；只和右支交，证通径最短；所以，只有一条；综上，共三条。　　问：(1)若要求直线的方程，怎么做？(2)

8、AB

9、=9，几条？(3)

10、AB

11、=5几条？　　点评：过焦弦中，通径与实轴长是分水岭：过焦点作直线(1)若仅与右支相交，则弦长等于（通径）时，一条；则弦长大于时，两条；则弦长小于时，无解；(2)若与两支都相交，则弦长等于2a时，一条；则弦长大于2a时，两条；则弦长小于2a时，无解。　　例5.已知是l1、l2是过点的两条相到垂直的直线，且l1、l2与双曲线y2-x2=1各有两个交点，分别为A1、B1和A2、B2(1)求l1的斜率的取值

12、范围；(2)若，求l1、l2的方程。　　解：l1、l2的方程可设为l1：　　由　　　　同理，k2<3且k2≠1　　所以，　　(2)　　　　要使　　化简得　　当　　当　　注：解题过程为追求简捷，多次运用了“对称性方法”，如以代k获得范围及弦长的表达式；可见对称性方法对于简化形式对称的计算具有独到的功能。　　例6、证明：任一直线l截双曲线及其渐近线所得的双曲线与渐近线之间的线段相等。　　证明：设双曲线　　(1)若l⊥x轴，则有双曲线关于x轴对称，命题成立。　　(2)l与x轴不垂直，设l：y=kx+m与双曲线及其渐近线分别交于AB和CD，设它们中点分别

13、为M和N。　　由　　　　由　　　　由xN=xM，所以，M、N重合　　　　课后练习：　　1.求分别满足下列条件的双曲线的标准方程：　　(1)准线方程为的等轴双曲线；(等轴双曲线：实轴与虚轴相等，即a=b，离心率为)　　(2)一个焦点为(0，3)，一条渐近线方程为；　　(3)渐近线为　　(4)一条渐近线为3x-2y=0，准线方程为y=4　　2.若双曲线的两条准线间的距离等于它的半焦距，则双曲线的离心率为(　)　　(A)　　　(B)2　　　(C)1　　　(D)　　3.设双曲线的半焦距为c，直线l过(a,0),(0,b)两点，已知原点到直线l的距离为，则

14、双曲线的离心率为(　)　　(A)2　　　(B)　　　(C)　　　(D)　　4.若双曲线x2-y2=1右支上一点P(a，b)到直线y=x的