导数的概念及其几何意义.docx

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1、导数的概念及其几何意义知识回顾1．函数的概念？设是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数．记作：．其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合}叫做函数的值域．2．判断函数的单调性有哪几种方法？定义法、图象法、复合函数的单调性结论：“同增异减”等.知识讲解一、导数的概念1．函数的平均变化率：一般地，已知函数，，是其定义域内不同的两点，记，，则当时，商称作函数在区间（

2、或）的平均变化率．注：这里，可为正值，也可为负值．但，可以为．2．函数的瞬时变化率、函数的导数：设函数在附近有定义，当自变量在附近改变量为时，函数值相应的改变．如果当趋近于时，平均变化率趋近于一个常数（也就是说平均变化率与某个常数的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数称为函数在点的瞬时变化率．“当趋近于零时，趋近于常数”可以用符号“”记作：“当时，”，或记作“”，符号“”读作“趋近于”．函数在的瞬时变化率，通常称为在处的导数，并记作．这时又称在处是可导的．于是上述变化过程，可以记作“

3、当时，”或“”．3．可导与导函数：如果在开区间内每一点都是可导的，则称在区间可导．这样，对开区间内每个值，都对应一个确定的导数．于是，在区间内，构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数的导函数．记为或（或）．导函数通常简称为导数．如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数．二、导数的几何意义1.导数的几何意义：设函数的图象如图所示．为过点与的一条割线．由此割线的斜率是，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点沿曲线趋近于点时，割线绕点转动，它的最终位置为直线，这条直线叫做此曲线过点

4、的切线，即切线的斜率．由导数意义可知，曲线过点的切线的斜率等于．2.求曲线的切线方程若曲线在点及其附近有意义，给横坐标一个增量，相应的纵坐标也有一个增量，对应的点.则为曲线的割线.当时,如果割线趋近于一确定的直线，则这条确定的直线即为曲线的切线.当然，此时割线的斜率就趋近于切线的斜率.切线的方程为.题型一、导数的概念【例1】如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则；函数在处的导数．【例2】求函数在到之间的平均变化率．【例1】求函数在附近的平均变化率，在处的瞬时变化率与导数．【例2】求在处的导数

5、．题型二、导数的几何意义【例3】已知曲线上一点，用斜率定义求：⑴过点A的切线的斜率；⑵过点A的切线方程．【例1】函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（）A．B．C．D．【例2】求函数的图象上过点的切线方程．题型三、综合问题【例3】已知直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b切于点(1,3)，则b的值为(　　)A．3　　　　　　　　　　B．－3C．5D．－5【例4】曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为(　　)A．y＝2x＋1B．y＝2x－1C．y＝－2x－3D．y＝－2x－2【例1】设曲线y＝

6、ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝(　　)A．1B.C．－D．－1【例2】若函数f(x)＝－x3＋f′(1)x2－f′(2)x＋5，则曲线f(x)在点(0，f(0))处的切线l的方程为________．【例3】已知f1(x)＝sinx＋cosx，记f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn(x)＝fn－1′(x)(n∈N*，n≥2)，则f1()＋f2()＋…＋f2012()＝________.【例4】曲线C：f(x)＝sinx＋ex＋2在x＝0处的切线方

7、程为________．【例5】已知直线y＝kx与曲线y＝lnx有公共点，则k的最大值为________．【例6】设P为曲线C：y＝x2－x＋1上一点，曲线C在点P处的切线的斜率的范围是[－1,3]，则点P纵坐标的取值范围是________．【例7】曲线C：f(x)＝sinx＋ex＋2在x＝0处的切线方程为________．【例8】若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（）A．B．C．D．【例9】设为曲线：上一点，曲线在点处的切线的斜率的范围是，则点纵坐标的取值范围是_______．【例10】若存在过

8、点的直线与曲线和都相切，则等于（）A．或B．或C．或D．或【例11】已知函数的图象在点处的切线方程为，又点的横坐标为，则________．【例12】⑴曲线在点处的切线方程是____．⑵曲线过点的切线方程是_________．【例13】已知曲线，则过点的切线方程是_______．【例14】已知曲线：及点，则过点可向引切线的条数为_____．【例15】曲线和在它们的交点处的两条切线与轴所围成的三角形的面积是______．【例16】已知直线y＝kx与曲线y＝lnx有公共点，