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1、2.3等差数列的前n项和及其性质1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；了解等差数列的一些性质.2.掌握等差数列前n项和的最值问题.3.理解an与Sn的关系，能根据Sn求an.学习目标等差数列的前n项和公式:公式一:公式二:复习回顾思考：将等差数列前n项和公式看作是一个关于n的函数，这个函数有什么特点？当d≠0时,Sn是常数项为零的二次函数则Sn=An2+Bn令常用常考等差数列{an}前n项和的性质性质1:Sn,S2n－Sn,S3n－S2n,…也成等差数列,公差为在等差数列{an}中,其
2、前n项的和为Sn,则有性质2:(1)若项数为偶数2n,则S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1)(an,an+1为中间两项),此时有:S偶－S奇=,n2dnd理解并识记识记性质2:(2)若项数为奇数2n－1,则S2n-1=(2n－1)an(an为中间项),此时有:S奇－S偶=,性质3:为等差数列.an识记理解并识记等差数列的性质应用：例1、已知一个等差数列前n项和为25，前2n项的和为100，求前3n项和。练习：设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=
3、()A.63B.45C.36D.27B3.等差数列{an}前n项和的性质的应用等差数列的性质应用：探究已知一个等差数列的总项数为奇数，且奇数项之和为77，偶数项之和为66，求中间项及总项数。解：由中间项得中间项为11又由得等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法1由S3=S11得∴d=－2∴当n=7时,Sn取最大值49.等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值
4、.解法2由S3=S11得d=－2<0∴当n=7时,Sn取最大值49.则Sn的图象如图所示又S3=S11所以图象的对称轴为7n113Sn等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法3由S3=S11得d=－2∴当n=7时,Sn取最大值49.∴an=13+(n-1)×(-2)=－2n+15由得∴a7+a8=0等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法4由S3=S11
5、得∴当n=7时,Sn取最大值49.a4+a5+a6+……+a11=0而a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8又d=－2<0,a1=13>0∴a7>0,a8<0例7.设数列{an}的通项公式为an=2n-7,则
6、a1
7、+
8、a2
9、+
10、a3
11、+……+
12、a15
13、=.153等差数列{an}前n项和的应用思考已知数列前n项和，（1）求证：为等差数列；（２）记数列 的前项和为，求 的表达式.}{na例.若一个等差数列前3项和为34，最后三项和为146，且所有项的和为390，则这个数列共有______项
14、。课堂小结1.根据等差数列前n项和，求通项公式.2、结合二次函数图象和性质求的最值.3.等差数列{an}前n项和的性质性质1:Sn,S2n－Sn,S3n－S2n,…也在等差数列,公差为在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有性质2:若Sm=p,Sp=m(m≠p),则Sm+p=性质3:若Sm=Sp(m≠p),则Sp+m=性质4:(1)若项数为偶数2n,则S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1)(an,an+1为中间两项),此时有:S偶－S奇=,n2d0nd－(m+p)性质4:(1)若项数
15、为奇数2n－1,则S2n-1=(2n－1)an(an为中间项),此时有:S奇－S偶=,两等差数列前n项和与通项的关系性质6:若数列{an}与{bn}都是等差数列,且前n项的和分别为Sn和Tn,则性质5:为等差数列.an练习.已知正整数数列中,前n项和满足求证:为等差数列.分层训练练习.已知数列的首项a１＝１,其前n项和sn和an之间的关系满an＝(1)求证:为等差数列；(2)求{an}的通项公式.练习.两等差数列{an}、{bn}的前n项和分别是Sn和Tn,且求和.等差数列{an}前n项和的性质的应
16、用练习.设等差数列的前n项和为Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0.(1)求公差d的取值范围;(2)指出数列{Sn}中数值最大的项,并说明理由.解:(1)由已知得a1+2d=1212a1+6×11d>013a1+13×6d<0等差数列{an}前n项和的性质(2)∵∴Sn图象的对称轴为由(1)知由上得即由于n为正整数,所以当n=6时Sn有最大值.∴Sn有最大值.练习：已知在等差数列{an}中,a10=23,a25=-22,Sn为其前n项和.（1）问该数列从第几项
