等差数列前n项和的性质

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1、第二章数列2.3等差数列前n项和的性质1.等差数列的递推公式是什么？an－1＋an＋1＝2an（n≥2）an－an－1＝d（n≥2）【问题提出】2.等差数列通项公式是什么？结构上它有什么特征？在结构上是关于n的一次函数.an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d＝pn＋k.3.等差数列前n项和的两个基本公式是什么？4.深入研究等差数列的概念与前n项和公式及通项公式的内在联系，可发掘出等差数列的一系列性质，我们将对此作些简单探究.思考1：若数列{an}的前n和那么数列{an}是等差数列吗？{an}是等差数列【知识探究】『知识探究（一）——等差数

2、列与前n项和的关系』思考2：将等差数列前n项和公式看作是一个关于n的函数，这个函数有什么特点？当d≠0时，Sn是常数项为零的二次函数.思考3：一般地，若数列{an}的前n和Sn＝An2＋Bn，那么数列{an}是等差数列吗？若Sn＝An2＋Bn＋C呢？（1）数列{an}是等差数列Sn＝An2＋Bn（2）数列{an}的前n项和是Sn＝An2＋Bn＋C，则：①若C＝0，则数列{an}是等差数列；②若C≠0，则数列{an}从第2项起是等差数列。思考4：若{an}为等差数列，那么是什么数列？数列{an}是等差数列为等差数列即等差数列{an}的前n项的

3、平均值组成的数列仍然是等差数列，且公差是数列{an}的公差的一半。『知识探究（二）——等差数列前n项和的性质』思考1：在等差数列{an}中，每连续k项的和组成的数列，即数列a1＋a2＋…＋ak，ak+1＋ak+2＋…＋a2k，a2k+1＋a2k+2＋…＋a3k，……是等差数列吗？性质：若数列{an}是等差数列，那么数列Sk，S2k－Sk，S3k－S2k,…仍然成等差数列思考3：在等差数列{an}中，设S偶＝a2＋a4＋…＋a2n，S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1，则S偶－S奇与等于什么？S偶－S奇＝nd思考2：在等差数列{an}中，Sn，S2n

4、，S3n三者之间有什么关系？S3n＝3(S2n－Sn)思考4：设等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，则等于什么？思考5：在等差数列{an}中，若a1＞0，d＜0，则Sn是否存在最值？如何确定其最值？当ak≥0，ak＋1＜0时，Sk为最大.【题型分类深度剖析】题型1：等差数列前n项和性质的简单应用例1：（1）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则该数列有()项。A.13B.12C.11D.10『变式探究』1.已知等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0，则有()A.a1+a1

5、01>0B.a2+a100<0C.a3+a99=0D.a51=512.等差数列{an}前n项和Sn＝an2＋(a＋1)n＋a＋2，则an＝.3.等差数列{an}中，已知S4＝2，S8＝7，则S12=_____；4.等差数列{an}的前m项的和为30，前2m项的和为100，则它的前3m项的和为()A.130B.170C.210D.2605.等差数列{an}中，Sn是其前n项和，a1＝－2011，，则S2011的值为()A.0B.2011C.－2011D.－2011×2011题型2：等差数列最值问题例2：等差数列{an}中，a1<0，S9＝S12，

6、该数列前多少项的和最小？又∵n∈N*，∴n＝10或n＝11时，Sn取最小值．>>小结：求等差数列{an}前n项和Sn的最值常用方法：方法1：二次函数性质法，即求出Sn=an2+bn，讨论二次函数的性质方法2：讨论数列{an}的通项，找出正负临界项。（1）若a1>0，d<0，则Sn有大值，且Sn最大时的n满足an≥0且an+1<0;（2）若a1<0，d>0，则Sn有小值，且Sn最小时的n满足an≤0且an+1>0;『变式探究』1.首项为正数的等差数列{an}，它的前3项和与前11项和相等，则此数列前________项和最大？2.等差数列{an}前

7、n项和Sn中，以S7最大，且

8、a7

9、<

10、a8

11、，则使Sn>0的n的最大值为_____．3.等差数列{an}中，已知

12、a7

13、=

14、a16

15、=9，且a14=5，则使an<0的最大自数n=（）．A.10B.11C.12D.134.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝12，S12＞0，S13＜0.（1）求数列{an}公差d的取值范围；（2）指出S1，S2，S3，…，S12中哪一个值最大。5.数列{an}首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负.（1）求数列{an}的公差d；（2）求前n项和Sn的最大值；（3）当Sn>0时，求n的

16、最大值；题型3：等差数列中的an与Sn的关系例3：Sn，Tn分别是等差数列{an}、{bn}的前n项的和，且，则.1.已知两个等差数列{an}和{bn