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1、【思考】等差数列前n项和的有关计算1.等差数列前n项和的应用（1）等差数列前n项和公式，共涉及到五个量a1、n、d、an、Sn.若已知其中三个量，可求另外两个量，也就是我们说的“知三求二”，其方法一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程（组）求解.（2）在利用等差数列前n项和公式解题时，常常要联系该公式的变形形式：Sn=或Sn=An2+Bn.【名师指津】2.依据等差数列的性质得到的结论.（1）当n为奇数时，Sn=（2）=a1+（n-1）【特别提醒】注意应用等差数列性质来简化计算过程，同时在解题过程中还应注意已知与未知的联系及整体思想的运用.【例1】已知等差数列{an}.(1)a1=a15
2、=Sn=-5,求n和d;(2)a1=4,S8=172,求a8和d.【审题指导】根据等差数列前n项和公式解方程.【规范解答】（1）∵a15=+(15-1)d=∴d=又Sn=na1+·d=-5,解得n=15,n=-4（舍）.（2）由已知，得S8=解得a8=39,又∵a8=4+(8-1)d=39,∴d=5.【变式训练】在等差数列{an}中，已知a6=10，S5=5，求a8.【解析】方法一：设公差为d,∵a6=10，S5=5，∴解得∴a8=a6+2d=16.方法二：设公差为d,∵S6=S5+a6=15，∴15=即3（a1+10）=15.∴a1=-5，d==3.∴a8=a1+（8-1）d=16.等
3、差数列前n项和的性质等差数列前n项和的性质.(1)项数（下标）的“等和”性质：(2)项的个数的“奇偶”性质：等差数列{an}中，公差为d：①若共有2n项，则S2n=n（an+an+1）；S偶-S奇=nd；S偶∶S奇=an+1∶an；②若共有2n+1项，则S2n+1=（2n+1）an+1；S偶-S奇=-an+1；S偶∶S奇=n∶（n+1）；③“片段和”性质：等差数列{an}中，公差为d，前k项的和为Sk，则Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Smk-S（m-1）k,…构成公差为k2d的等差数列.【例2】Sn是等差数列{an}的前n项和，且S10=100，S100=10，求S110.【规
4、范解答】方法一:设等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,则Sn=na1+由已知得①×10-②,整理得d=代入①,得a1=∴S110=110a1+=-110.故此数列的前110项之和为-110.方法二:数列S10,S20-S10,S30-S20,…,S100-S90,S110-S100成等差数列,设其公差为D,前10项和为10S10+·D=S100=10D=-22,∴S110-S100=S10+(11-1)D=100+10×(-22)=-120.∴S110=-120+S100=-110.【变式训练】等差数列{an}中，a2+a7+a12=24，求S13.【解题提示】利用等差数列的性质
5、Sn=【解析】因为a1+a13=a2+a12=2a7，又a2+a7+a12=24，所以a7=8，所以S13==13×8=104.【例】已知等差数列{an}的前4项和为25，后4项和为63，前n项和为286，求项数n.【审题指导】题目给出前4项和与后4项和，可利用等差数列项数（下标）的“等和”性质：Sn=来求得.【规范解答】因为a1+a2+a3+a4=25，an-3+an-2+an-1+an=63.而a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3，所以4（a1+an）=88，所以a1+an=22，所以Sn==11n=286，所以n=26.故所求的项数为26.【变式备选】已知等差
6、数列{an}的前n项和为377，项数n为奇数，且前n项和中奇数项和与偶数项和之比为7∶6，求中间项.【典例】（12分）在等差数列{an}中，a1=25，S17=S9，求Sn的最大值.【审题指导】题目给出首项和S17=S9等条件，欲求Sn的最大值可转化为二次函数求最值，或利用通项公式an求n使得an≥0,an+1＜0或利用性质求出大于或等于零的项.【规范解答】方法一：设公差为d,由S17=S9得25×17+=25×…………………3分解得d=-2，………………………………………………6分∴Sn=25n+×（-2）=-（n-13）2+169，………9分由二次函数性质得，当n=13时，Sn有最大
7、值169.……12分方法二：先求出公差d=-2（同方法一），………………6分∵a1=25＞0,故{an}为递减数列，由得解得……………………9分即又n∈N*∴当n=13时，Sn有最大值S13=13×25+×（-2）=169.…………………………………………12分方法三：先求出公差d=-2（同方法一），………………6分由S17=S9，得a10+a11+…+a17=0，而a10+a17=a11+a16=a12+a15=a13+a14，故
