等差数列的前n项和的性质

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1、等差数列的前n项和性质复习：关于n的二次函数当d≠0时，这是关于n的一个一次函数。2.等差数列的前n项和公式1.等差数列通项公式：5951010050-214.5320.7知三求二500604.52610255023．在等差数列{an}中，已知S15＝90，那么a8等于()A．3B．4C．6D．12C1．已知等差数列{an}满足a1＋a2＋…＋a101＝0，则有()CA．a1＋a101＞0C．a1＋a101＝0B．a1＋a101＜0D．a51＝51练习：B在等差数列｛an｝中，⑴已知a2+a15=20,求S16;⑵已知a6=36,求S11．练一练等差数列前n项和的性质1.等差数列{a

2、n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A．30B．170C．210D．2602.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝（）A．63B．45C．36D．27BC3.等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝2，S4＝10，则CA．12B．18C．24D．42S6等于()1.在小于100的自然数中，有多少个被３除余２的数？它们的和是多少？课外思考：2．在5，27之间插入10个数，使它们同这两个数成等差数列．求这10个数的和．33个2．在5，27之间插入10个数，使它们同这两个数成等差数列．求这10个数的和．解法一：设插入

3、的10个数依次为a2,a3,…,a11,则5，a2，a3，…，a11，27成等差数列．令S＝a2＋a3＋…＋a11,需求出a2,d．∵a12＝27，a1＝5，∴27＝5＋11d，d=2．a2＝5＋2＝7．解法二：设法同上．根据a2＋a11＝a1＋a12＝5＋27＝32，解法三：设法同上．例3.已知数列的前项和为,求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么?练习：等差数列前n项和的最值问题____________.65或67例1.在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求Sn的最值．由二次函数的性质可知，当n＝13时，Sn有最大值为169.例.

4、已知一个等差数列{an}的通项公式an＝25－5n，求数列{

5、an

6、}的前n项和Sn.错因剖析：解本题易出现的错误就是：(1)由an≥0得，n≤5理解为n＝5，得出结论：Sn＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝50(n≤5)，Sn＝(20－5n)(n－5)2；(2)把“前n项和”认为“从n≥6起”的和．事实上，本题要对n进行分类讨论．正解：由an≥0得n≤5，∴{an}前5项为非负，从第6项起为负，当n≥6时，1.数列{an}是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负．(1)求数列的公差；(2)求前n项和Sn的最大值；(3)当Sn＞0时，求n的最大值．S6＝6×23＋，

7、(2)∵d＜0，∴数列{an}是递减数列，又a6＞0，a7＜0，∴当n＝6时，Sn取得最大值，6×52×(－4)＝78.(3)Sn＝23n＋n(n－1)2×(－4)＞0，整理得：n(25－2n)＞0，∴0＜n＜252又n∈N*，所求n的最大值为12.2.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，Sn＝12n－n2.(1)求

8、a1

9、＋

10、a2

11、＋

12、a3

13、；(2)求

14、a1

15、＋

16、a2

17、＋

18、a3

19、＋…＋

20、a10

21、；(3)求

22、a1

23、＋

24、a2

25、＋

26、a3

27、＋…＋

28、an

29、.解：∵Sn＝12n－n2，∴当n＝1时，a1＝S1＝12－1＝11，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(12n－n2)－12(n－1)

30、＋(n－1)2＝13－2n，当n＝1时，13－2×1＝11＝a1，∴an＝13－2n.由an＝13－2n≥0，得n≤132，∴当1≤n≤6时，an>0；当n≥7时，an<0.(1)

31、a1

32、＋

33、a2

34、＋

35、a3

36、＝a1＋a2＋a3＝S3＝12×3－32＝27；课外思考：等差数列共有2n+1项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则中间项为_______.等差数列前n项和的实际应用例3：一个等差数列的前10项之和100，前100项之和为10，求前110项之和．解法一：设等差数列{an}的公差为d，前n项和Sn，则解法二：设等差数列的前n项和为Sn＝An2＋Bn，解法三：设等差数列的

37、首项为a1，公差为d，∴S110＝－110.