有限差分方法基础课件.ppt

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1、第2章有限差分法基础§2-1差分原理及逼近误差§2-2差分方程，截断误差和相容性§2-3收敛性与稳定性§2-4Lax等价定理§2-5利用有限差分法求解应用问题的一般步骤§2-6应用数值方法模拟材料成形的若干注意事项Finitedifferencemethod(FDM)1第2章有限差分法基础有限差分法:将连续求解域划分成差分网格（最简单的差分网格是矩形网格），用有限个节点代替原连续求解域，用差商代替控制微分方程中的导数，并在此基础上建立含有限个未知数的节点差分方程组；代入初始条件和边界条件后求解差分

2、方程组；该差分方程组的解就是元微分方程定解问题的数值近似解。2第2章有限差分法基础有限差分法:优点：是一种直接将微分问题转变成代数问题的近似数值解法，其最大特点是网格划分规整，无需构建形函数，不存在单元分析和整体分析，数学建模简便，但不太适合处理具有复杂边界条件的工程问题。不足：在处理求解对象的集合边界上缺乏灵活性，即边界节点（网格交点）没有全部坐落在边界线（面）上。适合用于传热、流动等工程问题的求解。3第2章有限差分法基础有限差分法:直观，理论成熟，精度可选。但是不规则区域处理繁琐，虽然网格生成

3、可以使FDM应用于不规则区域，但是对区域的连续性等要求较严。使用FDM的好处在于易于编程，易于并行。有限元方法:适合处理复杂区域，精度可选。缺憾在于内存和计算量巨大。并行不如FDM直观。不过FEM的并行是当前和将来应用的一个不错的方向。4§2-1差分原理及逼近误差1．差分原理设有x的解析函数y=f(x)，从微分学知道函数y对x的导数为是函数对自变量的导数，又称微商；、分别称为函数及自变量的差分，为函数对自变量的差商。（2-1）Finitedifferencemethod(FDM)5向前差分（2-2

4、）向后差分（2-3）中心差分（2-4）〉0§2-1差分原理及逼近误差Finitedifferencemethod(FDM)6上面谈的是一阶导数，对应的称为一阶差分。对一阶差分再作一阶差分，所得到的称为二阶差分，记为。以向前差分为例，有§2-1差分原理及逼近误差（2-5）Finitedifferencemethod(FDM)7依此类推，任何阶差分都可由其低一阶的差分再作一阶差分得到。例如n阶前差分为§2-1差分原理及逼近误差（2-6）Finitedifferencemethod(FDM)8函数的差分

5、与自变量的差分之比，即为函数对自变量的差商。一阶向前差商为一阶向后差商为§2-1差分原理及逼近误差（2-8）（2-7）Finitedifferencemethod(FDM)9一阶中心差商为或§2-1差分原理及逼近误差（2-9）（2-10）Finitedifferencemethod(FDM)10二阶差商多取中心式，即当然，在某些情况下也可取向前或向后的二阶差商。§2-1差分原理及逼近误差（2-11）Finitedifferencemethod(FDM)11以上是一元函数的差分与差商。多元函数f(x

6、,y,…)的差分与差商也可以类推。如一阶向前差商为§2-1差分原理及逼近误差（2-13）（2-12）Finitedifferencemethod(FDM)12由导数（微商）和差商的定义知道，当自变量的差分（增量）趋近于零时，就可由差商得到导数。因此在数值计算中常用差商近似代替导数。差商与导数之间的误差表明差商逼近导数的程度，称为逼近误差。由函数的Taylor展开，可以得到逼近误差相对于自变量差分（增量）的量级，称为用差商代替导数的精度，简称为差商的精度。现将函数在x的邻域作Taylor展开：2．逼

7、近误差§2-1差分原理及逼近误差（2-14）Finitedifferencemethod(FDM)13一阶向后差商也具有一阶精度。§2-1差分原理及逼近误差（2-15）（2-16）Finitedifferencemethod(FDM)14将与的Taylor展开式相减可得可见一阶中心差商具有二阶精度。（1-17）§2-1差分原理及逼近误差Finitedifferencemethod(FDM)15将与的Taylor展开式相加可得这说明二阶中心差商的精度也为二阶（1-18）§2-1差分原理及逼近误差由于

8、是个小量，因而阶数越大精度越高！Finitedifferencemethod(FDM)16在有些情况下要求自变量的增量本身是变化的，如图2-1中的，是不相等的，相应的差分和差商就是不等距的。Ox图2-1非均匀步长差分3．非均匀步长一阶向后差商一阶中心差商（1-22）（1-23）§2-1差分原理及逼近误差Finitedifferencemethod(FDM)17图2-2均匀和非均匀网格实例1§2-1差分原理及逼近误差Finitedifferencemethod(FDM)18图2-3均