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1、有限差分法主要步骤：利用网格将区域离散处理；构造差分格式用差分、差商来代替微分、微商，将微分方程离散化为差分方程，并将定解条件离散化；解线性代数方程组建立差分格式后，微分方程的求解就可归结为求解一个线性代数方程组，通过解线性代数方程组，得到的是数值解。本章主要以传热问题的有限差分计算为基础，介绍有限差分法求解的基本原理和过程。第七章有限差分基础有限差分法：偏微分方程的一种数值解法。差分法的基础是用差商代替微商。若y=f(x)是连续函数，则它的导数为△f/△x—差商，df/dx—微商。在△x到达零以前，△f/△x只是df/dx的近似，两者的差值
2、△f/△x-
3、df/dx
4、表示差商代替微商的偏差。用差商代替微商，则微分方程就变成了差分方程。1.差商与微商7.1有限差分法基础2.差分公式偏微分方程数值解法的基本原理是用几个相邻点的函数值和相邻点的间距来表示某点的导数。邻点间的距离可以相等，也可以各不相等。考虑函数f(x)，将自变量x等间距离散化，取步长为△x，令xi=i△x，fi=f(xi)(i=0,1,…)则依据所取函数值的不同，可得到不同形式的差分公式。现只讨论等间距即均匀网格中函数的导数。△x△xxixi+1xi-1xfi-1fifi+1f(x)f(x)O△x=xi+1-xi(i=0,1,…)向前差公式（导数
5、在点xi计算，而差商取fi及向前一点fi+1）向后差公式（导数在点xi计算，而差商取fi及向后一点fi-1）中心差公式（两侧差分平均值）函数f(x)在x=xi处的二阶导数函数f(x)的一阶导数(xi-1,xi)和(xi,xi+1)两区间的一阶导数差除以Δx得到△x△xxixi+1xi-1xfi-1fifi+1f(x)f(x)O一般地说，当差分公式的截断误差E=O(△xp)时，则称其具有p阶精度。向前差公式在x=xi展开得，E=O(△x)；向后差公式在x=xi展开得，E=O(△x)；中心差公式在x=xi展开得，E=O(△x2)；二阶导数公式在x=xi展开得，
6、E=O(△x2)。对差分公式按泰勒级数展开，可得各自的截断误差E。可见，后两个公式比前两个公式精度高一阶。截断误差注意：中心差公式虽然具有二阶截断误差，但这并不意味着它一定能得出比具有一阶截断误差的向前、向后差分公式更为精确的结果。7.2有限差分的基本原理存在初值的一维热传导问题，可以用下式表示在给定条件下，上述偏微分方程有唯一确定的解。(1)定解区域的离散化用网格线将定解区域离散化为节点集，是将微分方程定解问题离散化为差分方程的基础。（7-2）一维热传导或扩散方程：（7-1）其中：称为导温系数或扩散系数O△x2△xi△xx△t2△tj△tt(i,j)图7
7、-1定解区域网格线节点:网格线的交点空间步长：平行于t轴的网格线间距时间步长：平行于x轴的网格线间距网格线:其中节点()常简记为()初值问题的解u是依赖连续变化的变量x和t的函数。采用有限差分法求解u在节点上的近似值。也就是说，把依赖连续变化x和t的问题归结为依赖离散变化i和j的问题。(2)差分方程的建立（差分格式的构造）对于节点(i,j)，u的偏微商与差商之间有以下关系将上面两式代入式（7-1），并去掉O(Δx2+Δt)项，可得（7-6）该式称为方程（7-2）的有限差分方程。（7-3）（7-4）改写成便于计算的形式:称为网格比其中式（7-1）中的初始条件
8、：其中差分格式：通常把定解问题中的微分方程的差分方程和定解条件的离散形式统称为定解问题的一个差分格式显式差分格式下一时刻节点的函数值可由当前时刻直接计算得到隐式差分格式差分格式在t=(j+1)△t时间层上包含多于一个节点的未知数传热分析用到的物理参数及其单位:温度传导系数（导热系数）密度比热容导温系数（热扩散系数）时间热流密度：单位时间通过单位面积的热流量内热源强度表面放热系数7.3热传导问题1．热传导基本方程T—t时刻点(x,y,z)处的温度；λ—为导热系数，α=λ/ρc—导温系数或热扩散率；ρ—密度，c—比热容，H—内热源强度（单位体积的产热量）。热物
9、性参数不随温度变化，且各向同性。稳态时，，有若温度场内无内热源，即H=0,该式即为拉普拉斯方程。初始条件指某一时刻导热物体的温度分布。对于稳定导热问题，温度场不随时间变化，时间条件自然消失。温度随时间变化时，给出某一瞬时物体内部各点温度。t=0时物体内部的温度分布规律通常为T
10、t=0=T0(x,y,z)2．导热问题的定解条件边界条件即物体边界上的换热条件。常分为三类：第一类：已知物体边界的温度，即Ts=T0(x,y,z,t)第二类：已知物体边界上各点的热流密度，即第三类：已知物体边界与周围介质的热交换，即式中，n为边界外法线方向，为外法向导数，h为表面放热
11、系数，Ta为周围介质的温度。当时，即表示与外界无热交换，即绝热条件
