有限差分方法基础.ppt

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1、材料计算机数值模拟讲义有限差分法1主要内容1、差分原理及逼近误差2、差分方程，截断误差和相容性3、收敛性与稳定性4、Lax等价定理2第一节差分原理及逼近误差/差分原理（1/8）1．差分原理设有x的解析函数y=f(x)，从微分学知道函数y对x的导数为（1-1）是函数对自变量的导数，又称微商；、分别称为函数及自变量的差分，为函数对自变量的差商。3第一节差分原理及逼近误差/差分原理（2/8）向前差分（1-2）向后差分（1-3）中心差分（1-4）〉04第一节差分原理及逼近误差/差分原理（3/8）上面谈的是一阶

2、导数，对应的称为一阶差分。对一阶差分再作一阶差分，所得到的称为二阶差分，记为。以向前差分为例，有（1-5）5第一节差分原理及逼近误差/差分原理（4/8）依此类推，任何阶差分都可由其低一阶的差分再作一阶差分得到。例如n阶前差分为（1-6）6第一节差分原理及逼近误差/差分原理（5/8）函数的差分与自变量的差分之比，即为函数对自变量的差商。一阶向前差商为一阶向后差商为（1-7）（1-8）7第一节差分原理及逼近误差/差分原理（6/8）一阶中心差商为或（1-9）（1-10）8第一节差分原理及逼近误差/差分原理（

3、7/8）二阶差商多取中心式，即当然，在某些情况下也可取向前或向后的二阶差商。（1-11）9第一节差分原理及逼近误差/差分原理（8/8）以上是一元函数的差分与差商。多元函数f(x,y,…)的差分与差商也可以类推。如一阶向前差商为（1-12）（1-13）10第一节差分原理及逼近误差/逼近误差（1/9）差商与导数之间的误差表明差商逼近导数的程度，称为逼近误差。由函数的Taylor展开，可以得到逼近误差相对于自变量差分（增量）的量级，称为用差商代替导数的精度，简称为差商的精度。（1-14）（1-15）2．逼近

4、误差11第一节差分原理及逼近误差/逼近误差（2/9）一阶向后差商也具有一阶精度。（1-16）12第一节差分原理及逼近误差/逼近误差（3/9）将与的Taylor展开式相减可得可见一阶中心差商具有二阶精度。（1-17）13第一节差分原理及逼近误差/逼近误差（4/9）将与的Taylor展开式相加可得这说明二阶中心差商的精度也为二阶（1-18）14第一节差分原理及逼近误差/逼近误差（5/9）设有函数f(x)，自变量x的增量为，若取对应的函数值为，则f(x)在xi处的n阶差分可表达为式中cj为给定系数，J1和J

5、2是两个正整数。（1-19）（1-20）当J1=0时，称为向前差分；当J2=0时，称为向后差分；当J1=J2且时，称为中心差分。15第一节差分原理及逼近误差/逼近误差（6/9）函数的n阶差分与自变量的n阶差分之比为n阶差商，可用Taylor展开分析其逼近误差。显然，的差商及其对应的差分是不恰当的。当且aj为表2-1至表2-6中所列的数值时，可得m>0。（1-21）16第一节差分原理及逼近误差/逼近误差（7/9）表2表1nj01234aj1-1121-213-13-3141-46-41nj-4-3-2-

6、10aj1-1121-213-13-3141-46-41其中表1和表2的m=1，即此二表对应差商的精度是一阶的；17第一节差分原理及逼近误差/逼近误差（8/9）nJ012345Aj1-34-122-54-13-518-2414-343-1426-2411-2表3nJ-5-4-3-2-10Aj11-432-14-5233-1424-1854-211-2426-143表4nj-2-1012aj1-10121-213-120-2141-46-41表5表3至表5的m=2，即这些表对应差商的精度是二阶的；18第

7、一节差分原理及逼近误差/逼近误差（9/9）nJ-3-2-10123aj11-808-12-116-3016-131-8130-138-14-112-3956-3912-1表6的m=4，即此表对应差商的精度是四阶的。表619第一节差分原理及逼近误差/非均匀步长（1/3）在有些情况下要求自变量的增量本身是变化的，如图2-1中的，是不相等的，相应的差分和差商就是不等距的。Ox图1-1非均匀步长差分3．非均匀步长一阶向后差商一阶中心差商（1-22）（1-23）20第一节差分原理及逼近误差/非均匀步长（2/3）

8、图1-2均匀和非均匀网格实例121第一节差分原理及逼近误差/非均匀步长（3/3）图1-3均匀和非均匀网格实例222第二节差分方程、截断误差和相容性/差分方程（1/3）差分相应于微分，差商相应于导数。差分和差商是用有限形式表示的，而微分和导数则是以极限形式表示的。如果将微分方程中的导数用相应的差商近似代替，就可得到有限形式的差分方程。现以对流方程为例，列出对应的差分方程。（2-1）23图2-1差分网格第二节差分方程、截断误差和相容性/差分方程（2/3）24