时域有限差分方法林志立.ppt

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1、电磁学中几种重要的数值计算方法有限差分法FiniteDifferenceMethod静电场、静磁场的有限差分法；时域行波的电磁场的时域有限差分法；有限元法(FiniteElementMethod)数值求解各类独立的偏微分方程；（电磁学、材料力学、工程热力学、声学等等）矩量法(MethodofMoments)适合于细线、平面形状结构的电磁场问题电磁学基本方程麦克斯韦方程组(MaxwellEquations)JamesClerkMaxwell(1831–1879)(法拉第感应定律)(安培环路定律)(高斯定律－电场)(高斯定律－磁场)

2、物质本构关系(ConstitutiveRelations)（欧姆定律）（电极化）（磁化）一切电磁场和电磁波问题均可由以上方程，以及各类具体的边界条件所决定！麦克斯韦方程组中的运算符散度（Divergence)旋度（Curl)连续函数的偏微分运算设有一连续函数,现欲求　　　。FDTD的基本思想－连续偏微分的有限阶近似－时域和空间域的离散化二阶中心差分近似表达式：当　　越小时，上式的近似程度越高。实际上：FDTD空间域的离散化(1)空间域的分割离散化Ex分量的空间离散分布图Yee元胞（Δx,Δy,Δz)Hx分量的空间离散分布图节点F

3、DTD空间域的离散化YEE元胞各电磁场分量在元胞中的位置K.S.Yee,“NumericalsolutionofinitialboundaryvalueproblemsinvolvingMaxwell’sequationsinisotropicmedia,”IEEETrans.AntennasPropagat.,vol.14,1966,pp.302-307.例如：Hz为Ex和Ey所环绕。FDTD空间偏微分的近似以Hz为例：类似地，可实现各电磁场分量的空间偏微分计算。FDTD时间偏微分的近似以Hz为例：t=(n+1/2)Δtt=n

4、Δtt=(n-1/2)Δt时间上的推移(1)电场在时间上取整数倍的Δt;t=n*Δt;(2)磁场在时间上取(整数＋1/2)倍的Δt;t=(n+1/2)*Δt;麦克斯韦方程的离散化近似以Hz为例：上式即为Hz的更新方程，由前一时刻的磁场和前半时刻的临近空间格点的电场即可求出最新时刻的磁场。麦克斯韦方程的离散化近似采取类似的步骤，可以推导出其它场量的更新表达式：例如，对于Ez：FDTD的离散参数的选择★元胞尺寸：边长小于最短波长的1/10,以减小数值色散。数值色散方程：理想色散方程：要求：例如，取例如，取FDTD的离散参数的稳定性条

5、件★时间步长：Courant稳定性条件对于非色散介质，时间步长不能大于以下表达式：（vonNeumannmethod）为了保持稳定性，该方程的所有解的模必须小于1。Ｚ域数值色散方程：介质电磁参量的设定不同的元胞的电磁参量应设置为所在空间所代表的介质的介电常数和磁导率。长方体，物质I长方体，物质II球体，物质III空气场量与介质参数要对应色散介质的FDTD模拟以Lorentz介质为例：更新方程：近似，求系数Z-变换时域：频域：色散介质的FDTD模拟模拟Lorentz色散介质的不同方法：MSEapproach:FDTD编程流程主循环

6、初始化输出结果编程举例1：一维FDTD问题x基本旋度方程：X向电导率X向磁电导率X向电流X向磁流编程举例1：一维FDTD问题Matlab程序代码：%Defineinitialconstantseps_0=8.854187817e-12;%permittivityoffreespacemu_0=4*pi*1e-7;%permeabilityoffreespacec=1/sqrt(mu_0*eps_0);%speedoflight%Defineproblemgeometryandparametersdomain_size=1;%1D

7、problemspacelengthinmetersdx=1e-3;%cellsizeinmetersdt=3e-12;%durationoftimestepinsecondsnumber_of_time_steps=2000;%numberofiterationsnx=round(domain_size/dx);%numberofcellsin1Dproblemspacesource_position=0.5;%positionofthecurrentsourceJz1.定义物理常量2.定义问题的参量和结构尺寸%Initial

8、izefieldandmaterialarraysCeze=zeros(nx+1,1);Cezhy=zeros(nx+1,1);Cezj=zeros(nx+1,1);Ez=zeros(nx+1,1);Jz=zeros(nx+1,1);eps_r_z=ones(n