电磁波时域有限差分方法(FDTD).pdf

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1、电磁波时域有限差分方法1.数值稳定性2.吸收边界条件1/131.数值稳定性FDTD方法是以一组有限差分方程代替麦克斯韦方程，即以差分方程的解来代替原来电磁场偏微分方程组的解。因此只有离散后的差分方程的解释收敛的和稳定的，这种代替才有意义。收敛性：稳定性：当离散空间趋于零寻求一种离散间隔所时，差分方程的解在空满足的的条件，在此条件间任意一点和任意时刻下差分方程的解与原方程都趋于原方程的解的严格解之间的差为有界2/131.1时间离散间隔的稳定性要求时谐场情形：将(4)带入(3)得：??,?,?,?=?exp(???)（1-1）?2−??∆??−1=0

2、（1-5）0一阶微分方程的解：解(5)得：????∆??∆?=???（1-2）?=±1−()2（1-6）??22差分形式代替：?+1/2?−1/2(2)的解析解：?−?=?????（1-7）∆?（1-3）?=?0exp(???∆?)其中：解(7)得：??+1/21??=??,?,?,?∆?（1-8）?==exp(??∆?)??2时间∆?足够小时定义考虑到在无源的情况下电磁场的幅度是不会增长的，必数值增长因子q为：然要求??≤1，即：Re(?)=0??+1/2???==（1-4）?∆??（1-9）????−1/2≤1或∆?≤2?3/131.2Cou

3、rant稳定条件?2??2??2??2电磁场任意直角分量均满足其次波动方程：+++?=0（1-10）??2??2??2?2平面波解：??,?,?,?=?0exp−????+???+???−??（1-11）有限差分的二阶导数近似：?2???+∆?−2??+?(?−∆?)≈（1-12）??2(∆?)2将(11)带入(12)得:2???2(??∆?)??exp???∆?−2+exp−???∆?2≈?=−?（1-13）??2(∆?)2∆?2()2带入其余两项的差分近似，得到波动方程的离散式：2??∆?2??∆?2??∆?2???(2)???(2)???(

4、2)?（1-14）++−=0∆?2∆?2∆?2?2()()()2224/131.2Courant稳定条件由(14)便可得到波矢量k与频率?之间的关系式，即色散关系：22??∆?2??∆?2??∆?2?∆????(2)???(2)???(2)?∆?++=≤1（1-15）2(∆?)2(∆?)2(∆?)22222(15)对任何??,??,??均成立的充分条件是：1111?∆?2++≤1亦?∆?≤（1-16）∆?2∆?2∆?2111++∆?2∆?2∆?2几个特殊情况下Courant条件的具体形式：?(1)三维取∆?=∆?=∆?=?时：?∆?≤（1-17）

5、3?(2)二维取∆?=∆?=?时：?∆?≤（1-18）2(3)一维时：?∆?≤∆?（1-19）上式表明：时间间隔必须等于或小于波以光速通过一维Yee元胞所需的时间5/131.3数值色散对空间离散间隔的要求考虑一维情形下波动方程：从(23)中可以看出，近似之后?与?不再是?2??2简单线性关系，而?与?的非线性关系必然+?=0（1-20）??2?2导致相速与频率有关，因而出现色散，我对于平面波：们称之为数值色散??,?=?0exp−???−??（1-21）将(21)带入(20)得：即使介质本身是无色散的，对于波动方程?2−?2+?=0（1-22

6、）作差分近似，即；离散处理也将导致波的?2色散，这会对时域数值计算带来误差求得：?波的相速??=??=??这种色散与离散间隔∆?有关，若取波动方程的二阶近似：?∆?/2≈0,根据近似式，即?→0时，2?∆????(2)?2sin?≈?−=0（1-23）∆?2?2()26/131.3数值色散对空间离散间隔的要求若取?∆?/2≈0,则：?∆????∆?令≤∆?≤sin()212122??=?（1-24）?∆?()?为无色散介质中,?=2?/?。对于非单2色波的时域脉冲信号，应以信号款到中在三角函数中，当?≤?/12时，sin?≈?所对应的上限频率的

7、波长????来代替考虑一维波动方程的一般形式：为了减小上式所对应的数值色散，除了选?2?1?2?择空间离散∆?外，对于时间离散有同样−=0（1-25）??2?2??2的选择，即：差分近似关系：?∆???≤或∆?≤212122??∆?2?∆????()1???()22?−=0（1-26）这一要求比∆?≤(1-9)要严格很多∆?2?2∆?2?()()227/132.吸收边界条件由于计算机容量的限制，FDTD计算只能在有限区域内进行，然而，许多问题都要涉及自由空间中物体的建模，就要满足辐射条件，为了能模拟开域电磁过程，在计算区域的截断边界处必须给出吸收

8、边界条件简单的插值边界广泛使用的Mur吸收边界完全匹配层(PML)吸收边界8/132.1Engquist-Majda吸收边界条件齐次波动