第十一章-时域有限差分方法

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1、第十一章时域有限差分方法自从1966年K.S.Yee创建时域有限差分法(FiniteDifferenceTimeDomain，简称FDTD)以来[1]，已经发展成为一种理论完整、应用广泛的数值方法，并且与矩量法和有限元法一起奠定了计算电磁学的基础。本章将介绍时域有限差分的基本理论，数值模拟技术，若干相关的专题以及工程实例。11-1差分的基本概念时域有限差分法是对微分形式的Maxwell方程进行差分求解的技术。在详述其之前，首先简单回顾差分的基本概念。已知分段连续函数在位置处的增量可表示为(11-1-1)其差商为(11-1-

2、2)当®0时，的导数定义为差商的极限，即(11-1-3)当足够小时，的导数可以近似为(11-1-4)根据导数取值位置的不同，差分格式分为前向差分、后向差分和中心差分。前向差分定义为(11-1-5)后向差分定义为(11-1-6)中心差分定义为(11-1-7)将在点x处展开为Taylor级数，得(11-1-8)415(11-1-9)将方程(11-1-8)和(11-1-9)代入(11-1-5)~(11-1-7)后可以发现，前向和后向差分具有一阶精度，中心差分具有二阶精度。11-2FDTD概述时域有限差分法直接将两个旋度Maxwe

3、ll方程，在空间和时间上用中心差分格式进行离散，从而获得一组递推方程。中心差分格式能够保证时域有限差分的解具有二阶精度，并且在满足Courant条件时其结果是稳定的[2]。在Yee的差分格式中，计算区域在x，y，z方向上分别用直角坐标网格进行离散。划分电场的网格称为电网格，而划分磁场的网格称为磁网格，所谓时域有限差分网格通常是指电网格。按Yee的定义，在电网格单元中，电场采样与电网格单元的棱边重合，磁场采样则位于电网格面的中心且与电网格面垂直，如图11-2-1(a)所示。同样，在磁网格单元中，磁场采样与磁网格单元的棱边重合

4、，电场采样则位于磁网格面的中心且与磁网格面垂直。电网格单元与磁网格单元的相互位置关系如图11-2-1(b)所示。图11-2-1Yee差分格式中电场和磁场的位置(a)电网格单元(b)电网格和磁网格的位置关系时域有限差分中的基函数是以采样点为中心的脉冲函数，也就是说我们假设电场在电网格单元的棱边上均匀分布，同时也在磁单元网格面上均匀分布。磁场基函数的定义与此类似。在时域中，电场采样时刻为，为时间采样间隔，且假定电场在时间间隔到均匀分布。磁场则在时间间隔到均匀分布。由第一章获悉，当介质中存在电损耗及磁损耗时，两个Maxwell旋

5、度方程可以表示为(11-2-1a)(11-2-1b)式中e为介电常数，s为电导率，m为磁导率，代表磁损耗，可以称为磁耗率。在直角坐标系中，将上式写成分量形式，获得的6个相互耦合的偏微分方程为(11-2-2a)415(11-2-2b)(11-2-2c)(11-2-2d)(11-2-2e)(11-2-2f)这里将介质参数也写成分量形式，以便可以直接模拟一些简单的各向异性介质，同时也有利于处理计算区域内部的介质界面问题。方程(11-2-2a)~(11-2-2f)建立了时域有限差分数值方法模拟时变电磁场与三维物体相互作用的基础，它

6、与边界条件结合，即可解决几乎所有的电磁问题。若以电网格为参考系，离散化的电磁场可以表示为(11-2-3a)(11-2-3b)(11-2-3c)(11-2-3d)(11-2-3e)(11-2-3f)现实世界中的电场和磁场充满整个空间，同时在时间上也是连续的。但是，在时域有限差分的Yee格式中，电场总是在整时间步上采样，而磁场则在半时间步(n+1/2)上采样。因此，空间某点在某时刻的电磁场分量需要通过时间和空间上进行插值才能获得。同样为了计算频域的电磁场，在进行Fourier变换时也应考虑到电场和磁场在时间上具有半个步长的时移

7、。如果忽略电磁场采样在时间或空间上的错位，将会导致模拟结果在高频段产生误差。利用时间和空间中心差分公式以及式(11-2-3a)~(11-2-3f)，可将Maxwell方程(11-2-2a)~(11-2-2f)改写成下面递推形式：415(11-2-4a)(11-2-4b)(11-2-4c)(11-2-4d)(11-2-4e)415(11-2-4f)式中介质参数的空间坐标序号和对应的场分量序号相同。为了求解方程组(11-2-4)，需用适当的边界条件截断时域有限差分的计算区域。时域有限差分法涉及的边界条件通常包括理想电导体（Pe

8、rfectElectricConductor，简称PEC），理想磁导体（PerfectMagneticConductor，简称PMC），吸收边界件(AbsorbingBoundaryCondition，简称ABC)[4-12]和周期边界件(PeriodicBoundaryCondition，简称PBC)