有限差分方法基础-研究生课程

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1、有限差分方法应用-研究生课程讲义有限差分法基础材料学院周建新Tel:027-87541922Email:zhoujianxin1975@163.com1主要内容1、差分原理及逼近误差2、差分方程，截断误差和相容性3、收敛性与稳定性4、Lax等价定理2第一节差分原理及逼近误差/差分原理（1/8）1．差分原理设有x的解析函数y=f(x)，从微分学知道函数y对x的导数为（1-1）是函数对自变量的导数，又称微商；、分别称为函数及自变量的差分，为函数对自变量的差商。3第一节差分原理及逼近误差/差分原理（2/8）向前差分（1-2）向后差分（1-3）中心差分（1-4）〉04第一节差分原理及逼近误差

2、/差分原理（3/8）上面谈的是一阶导数，对应的称为一阶差分。对一阶差分再作一阶差分，所得到的称为二阶差分，记为。以向前差分为例，有（1-5）5第一节差分原理及逼近误差/差分原理（4/8）依此类推，任何阶差分都可由其低一阶的差分再作一阶差分得到。例如n阶前差分为（1-6）6第一节差分原理及逼近误差/差分原理（5/8）函数的差分与自变量的差分之比，即为函数对自变量的差商。一阶向前差商为一阶向后差商为（1-7）（1-8）7第一节差分原理及逼近误差/差分原理（6/8）一阶中心差商为或（1-9）（1-10）8第一节差分原理及逼近误差/差分原理（7/8）二阶差商多取中心式，即当然，在某些情况下也

3、可取向前或向后的二阶差商。（1-11）9第一节差分原理及逼近误差/差分原理（8/8）以上是一元函数的差分与差商。多元函数f(x,y,…)的差分与差商也可以类推。如一阶向前差商为（1-12）（1-13）10第一节差分原理及逼近误差/逼近误差（1/4）由导数（微商）和差商的定义知道，当自变量的差分（增量）趋近于零时，就可由差商得到导数。因此在数值计算中常用差商近似代替导数。差商与导数之间的误差表明差商逼近导数的程度，称为逼近误差。由函数的Taylor展开，可以得到逼近误差相对于自变量差分（增量）的量级，称为用差商代替导数的精度，简称为差商的精度。现将函数在x的邻域作Taylor展开：（1

4、-14）（1-15）2．逼近误差11第一节差分原理及逼近误差/逼近误差（2/4）一阶向后差商也具有一阶精度。（1-16）12第一节差分原理及逼近误差/逼近误差（3/4）将与的Taylor展开式相减可得可见一阶中心差商具有二阶精度。（1-17）13第一节差分原理及逼近误差/逼近误差（4/4）将与的Taylor展开式相加可得这说明二阶中心差商的精度也为二阶（1-18）14第一节差分原理及逼近误差/非均匀步长（1/3）在有些情况下要求自变量的增量本身是变化的，如图2-1中的，是不相等的，相应的差分和差商就是不等距的。Ox图1-1非均匀步长差分3．非均匀步长一阶向后差商一阶中心差商（1-22

5、）（1-23）15第一节差分原理及逼近误差/非均匀步长（2/3）图1-2均匀和非均匀网格实例116第一节差分原理及逼近误差/非均匀步长（3/3）图1-3均匀和非均匀网格实例217第二节差分方程、截断误差和相容性/差分方程（1/3）从上节所述可知，差分相应于微分，差商相应于导数。只不过差分和差商是用有限形式表示的，而微分和导数则是以极限形式表示的。如果将微分方程中的导数用相应的差商近似代替，就可得到有限形式的差分方程。现以对流方程为例，列出对应的差分方程。（2-1）18图2-1差分网格第二节差分方程、截断误差和相容性/差分方程（2/3）19若时间导数用一阶向前差商近似代替，即空间导数用

6、一阶中心差商近似代替，即则在点的对流方程就可近似地写作（2-2）（2-3）（2-4）第二节差分方程、截断误差和相容性/差分方程（3/3）20第二节差分方程、截断误差和相容性/截断误差（1/6）按照前面关于逼近误差的分析知道，用时间向前差商代替时间导数时的误差为,用空间中心差商代替空间导数时的误差为，因而对流方程与对应的差分方程之间也存在一个误差，它是这也可由Taylor展开得到。因为（2-5）（2-6）21第二节差分方程、截断误差和相容性/截断误差（2/6）一个与时间相关的物理问题，应用微分方程表示时，还必须给定初始条件，从而形成一个完整的初值问题。对流方程的初值问题为这里为某已知函

7、数。同样，差分方程也必须有初始条件：初始条件是一种定解条件。如果是初边值问题，定解条件中还应有适当的边界条件。差分方程和其定解条件一起，称为相应微分方程定解问题的差分格式。（2-7）（2-8）22第二节差分方程、截断误差和相容性/截断误差（3/6）FTCS格式（2-9）FTFS格式（2-10）（2-11）FTBS格式23第二节差分方程、截断误差和相容性/截断误差（5/6）(a)FTCS(b)FTFS(c)FTBS图2-2差分格式24第二节差分方程、截断误差