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《同济版大一高数第十章第二节二重积分的计算课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、高等数学第十五讲1第二节一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分二重积分的计算法第十章2曲顶柱体体积的计算设曲顶柱体的底为任取平面故曲顶柱体体积为截面积为截柱体的截柱体对应薄片的体积：3同样,曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算4一、利用直角坐标计算二重积分且在D上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知,若D为X–型区域则若D为Y–型区域则5计算二重积分的步骤：一、画积分域D二、选择积分次序三、定积分限四、计算若D为X–型区域若D为Y–型区域左右夹，从下向上穿上下夹，从左向右穿计算二重积分的基本思想——将其化成两次定积分来计算。定内限—
2、—域中一线穿定外限——域边两线夹（是常数）6说明:(1)若积分区域既是X–型区域又是Y–型区域,为计算方便,可选择积分序,必要时还可以交换积分序.则有(2)若积分域较复杂,可将它分成若干X-型域或Y-型域,则7例1.计算其中D是直线y＝1,x＝2,及y＝x所围的闭区域.解法1.将D看作X–型区域,则解法2.将D看作Y–型区域,则8例2.计算其中D是直线所围成的闭区域.解:9例3.计算解:10例4.计算其中D是抛物线所围成的闭区域.解:求交点及直线则为计算简便,先对x后对y积分,11注：本题计算中若先对后对积分：由于的原函数不能用初等函数来表示，则本
3、题只能采用先对后对积分。例5计算其中D是由直线所围成。12例6计算其中D是由直线所围成。解：画域13例7计算解:由被积函数可知,因此取D为X–型域:先对x积分不行,14交换二次积分的积分次序的步骤：1、根据已给的二次积分的积分限用不等式表示区域D，并画出D的图形。2、根据D的图形将D用另一种表达式来表示，以确定改变积分次序后的积分限。把所给的二次积分化成另一种二次积分。15例8.交换下列积分顺序解:积分域由两部分组成:视为Y–型区域,则16例9计算解:先画D域由:将D域分为D1和D217例10求两个底圆半径为R的直角圆柱面所围的体积.解:设两个直圆
4、柱方程为利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为18二、利用极坐标计算二重积分换元积分法是计算定积分的一种常用的方法，在计算重积分中有类似的换元法。一种换元法就是本节所介绍的极坐标。将二重积分的从直角坐标换为积分变量19解：先求曲线的交点引例：计算20极坐标：若将直角坐标系中的原点取为极点，轴的正半轴取为极轴。设直角坐标系中点的坐标极坐标系中点的坐标称为极坐标的极径。称为极坐标的极角。二重积分中被积函数把由极轴出发逆时针方向为正。两坐标系中变量间关系：21求极坐标下的积分元素在极坐标系下,用射线=常数则除包含边界点的小区域外,及
5、同心圆r=常数,的表示方法。小区域的面积由图可知：分划区域D为22极坐标中二重积分化为二次积分的方法类似于直角则特别,对坐标系中的方法。设：23思考:下列各图中域D分别与x,y轴相切于原点,试问的变化范围是什么?(1)(2)24例1：将化成极坐标下的二次积分。25例1：将化成极坐标下的二次积分。263.例1：将化成极坐标下的二次积分。274.例1：将化成极坐标下的二次积分。28由极坐标计算引例：引例：计算解：求曲线的交点29例2.计算其中解:在极坐标系下原式的原函数不是初等函数,故本题无法用直角由于故坐标计算.30注:利用例2可得到一个在概率论与
6、数理统计及工程上非常有用的反常积分公式事实上,当D为R2时,利用例2的结果,得①故①式成立.31例3.计算其中D为由圆所围成的及直线解：平面闭区域.32例4.计算二重积分其中D为解:利用极坐标.33解例534例6：计算解：先画D域（分析D域在第一象限）35例7.计算二重积分其中D为圆域解:利用对称性.36解：积分域是圆域，关于x,y轴对称例8.37其中D是由曲线所围成的平面域.例9.计算与解和被积函数的奇偶性利用积分区域的对称性2004考研D38例10.求由曲面柱面以及平面解：该立体向xoy面作投影，投影区域D：所围的立体的体积。39例11.求球体
7、被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积.解:设由对称性可知40内容小结(1)二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情形:若积分区域为则若积分区域为则41则极坐标系情形:若积分区域为42(2)计算步骤及注意事项•画出积分域•选择坐标系•确定积分序•写出积分限•计算要简便域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积好算为妙图示法不等式(先积一条线,后扫积分域)充分利用对称性应用换元公式（两边夹，一线穿）432.交换积分顺序提示:积分域如图44例9.计算其中D由所围成.解:令(如图所示)显然,45
