同济版大一高数第十章第一节二重积分概念课件.ppt

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1、高等数学第十四讲1第十章一元函数积分学多元函数积分学重积分曲线积分曲面积分重积分2三、二重积分的性质第一节一、引例二、二重积分的定义与可积性二重积分的概念与性质第十章3柱体体积=底面积×高特点：平顶.柱体体积=？特点：曲顶.１．曲顶柱体的体积问题的提出4求曲边梯形面积的解题步骤:1)大化小.在区间[a,b]中任意插入n–1个分点用直线将曲边梯形分成n个小曲边梯形;2)常代变.在第i个窄曲边梯形上任取窄曲边梯形面积得3)近似和.4)取极限.5解法:类似定积分解决问题的思想:一、引例1.曲顶柱体的体积给定曲顶柱体:底：xoy面上的闭区域D顶:连续曲面侧面：以D的边界为准线,母线平行

2、于z轴的柱面求其体积.“大化小,常代变,近似和,求极限”61)“大化小”用任意曲线网分D为n个区域以它们为底把曲顶柱体分为n个2)“常代变”在每个3)“近似和”则中任取一点小曲顶柱体74)“取极限”令82.平面薄片的质量有一个平面薄片,在xoy平面上占有区域D,计算该薄片的质量M.度为设D的面积为,则若非常数,仍可用其面密“大化小,常代变,近似和,求极限”解决.1)“大化小”用任意曲线网分D为n个小区域相应把薄片也分为小区域.92)“常代变”中任取一点3)“近似和”4)“取极限”则第k小块的质量10两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同“大化小,常代

3、变,近似和,取极限”曲顶柱体体积:平面薄片的质量:11二、二重积分的定义及可积性定义:将区域D任意分成n个小区域任取一点若存在一个常数I,使可积,在D上的二重积分.积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域D上的有界函数,12引例1中曲顶柱体体积:引例2中平面薄板的质量:如果在D上可积,也常二重积分记作这时分区域D,因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划记作13关于二重积分定义的几点说明:1、二重积分的值与D域的分法及的取法无关。2、二重积分是个极限值，是个数值。其大小只与及D有关而与积分变量的记号无关。3、对D的分割是任意的，若用平行于坐标轴的直线段来划分D,那

4、么除了靠边的一些小区域外，绝大部分的小区域都是矩形的，由于靠边的小区域不作计较。14上方的体积－下方的体积。二重积分的几何意义15二重积分存在定理:若函数定理2.(证明略)定理1.在D上可积.限个点或有限个光滑曲线外都连续,积.在有界闭区域D上连续,则若有界函数在有界闭区域D上除去有16三、二重积分的性质(k为常数)为D的面积,则（共8个）17特别,由于则5.若在D上6.（二重积分的估值定理）D的面积为,则有设187.(二重积分的中值定理)证:由性质6可知,由连续函数介值定理,至少有一点在闭区域D上为D的面积,则至少存在一点使使连续,因此此性质的几何意义是：总可以在D内找

5、到一点使得以D为底为曲顶的曲顶柱体的体积等于以D为底，为高的平顶柱体体积。198.设函数D位于x轴上方的部分为D1,当区域关于y轴对称,函数关于变量x有奇偶性时,仍在D上在闭区域上连续,域D关于x轴对称,则则有类似结果.在第一象限部分,则有20例1.比较下列积分的大小:其中解:积分域D的边界为圆周它与x轴交于点(1,0),而域D位从而于直线的上方,故在D上212.设D是第二象限的一个有界闭域,且0

6、、242、解：先求在D上的最值令得驻点：在D的边界上为D的面积25内容小结1.二重积分的定义2.二重积分的性质(与定积分性质相似)26例2.判断积分的正负号.解:分积分域为则原式=猜想结果为负但不好估计.舍去此项27