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《同济版大一高数第九章第二节偏导数课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、高等数学第八讲1第二节一、偏导数概念及其计算二、高阶偏导数偏导数第九章2一、偏导数定义及其计算法引例:研究弦在点x0处的振动速度与加速度,就是中的x固定于求一阶导数与二阶导数.x0处,关于t的将振幅3从研究函数关于自变量的变化率得到一元函数的的导数概念一元函数二元函数若在两个自变量中是变化的,是不变的(视为常数)是的一元函数.函数关于这个自变量x的变化率就是二元函数对的偏导数.因此,一元函数的导数定义相仿.4定义1.在点存在,的偏导数，记为的某邻域内则称此极限为函数极限设函数注意:5同样可定义对y的偏导数若函数z=
2、f(x,y)在域D内每一点(x,y)处对x则该偏导数称为偏导函数,也简称为偏导数,记为或y偏导数存在,67例如,三元函数u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对x的偏导数的概念可以推广到二元以上的函数.偏导数定义为8二元函数偏导数的几何意义:是曲线在点M0处的切线对x轴的斜率.在点M0处的切线是曲线对y轴的斜率.9有关偏导数的几点说明：１、２、求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；解1011显然例如,３、偏导数存在与连续的关系在上节已证f(x,y)在点(0,0)并不连续!同理一元函数中在某点可导连续，多元函数中
3、在某点偏导数存在连续，1213例1.求解法1:解法2:在点(1,2)处的偏导数.14例215例3.设证:例4.求的偏导数解:求证16例5解:将先将函数变形后求导有17解例618例7:求曲线在点处的切线和轴正向所构成的倾角.解所给的曲线是曲面与平面的交线。该曲线在点处的切线关于y轴的斜率为所以，曲线在处的切线与y轴正向所成的倾角为19偏导数记号是一个例8.已知理想气体的状态方程求证:证:说明:(R为常数),不能看作分子与分母的商!此例表明,整体记号,20二、高阶偏导数设z=f(x,y)在域D内存在连续的偏导数若这两个
4、偏导数仍存在偏导数，则称它们是z=f(x,y)的二阶偏导数.按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导数:21类似可以定义更高阶的偏导数.例如，z=f(x,y)关于x的三阶偏导数为z=f(x,y)关于x的n–1阶偏导数,再关于y的一阶偏导数为22例1.求函数解:注意:此处但这一结论并不总成立.的二阶偏导数及23则定理.例如,对三元函数u=f(x,y,z),说明:本定理对n元函数的高阶混合偏导数也成立.函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.因为初等函数的偏导数仍为初等函数,当三阶混合偏导数
5、在点(x,y,z)连续时,有而初等(证明略)24解25内容小结1.偏导数的概念及有关结论定义;记号;几何意义函数在一点偏导数存在函数在此点连续混合偏导数连续与求导顺序无关2.偏导数的计算方法求一点处偏导数的方法先代后求先求后代利用定义求高阶偏导数的方法逐次求导法(与求导顺序无关时,应选择方便的求导顺序)26思考与练习解答提示:P130题5P130题5,6即x＝y＝0时,27例2.证明函数满足拉普拉斯证：利用对称性,有方程28例如,二者不等29证:令则则定理.令30P130题6(1)(2)31同样在点连续,得32
