同济版大一高数下第七章第四节一阶线性微分方程课件.ppt

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1、高等数学第二十九讲1一阶线性微分方程第四节一、一阶线性微分方程二、伯努利方程第七章2一、一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:若Q(x)0,若Q(x)0,称为非齐次方程.1.解齐次方程分离变量两边积分得故通解为称为齐次方程;其中P(x),Q(x)是x的已知函数，Q(x)为自由项。称P(x)为变系数；3常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.实质:未知函数的变量代换.设通解形式4对应齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解2.解非齐次方程用常数变易法:则故原方程的通解即即设（1）的解为

2、两端积分得5解直接应用一阶微分方程通解公式故原方程通解为例1.解方程6例2求微分方程的通解。解：原式整理为由公式得通解7例3：求微分方程满足的特解。上式不是一阶线性方程的形式，函数，方程可写为：此方程为一阶线性微分方程。通解：解：若将x看成y的用通解公式有：特解：8求微分方程的通解.例4解9例5求一连续可导函数使其满足下列方程:解:令利用公式可求出方程两边求导，整理得10解法1化为齐次方程,原方程变形为积分得将代入,得通解例6：求下列微分方程的通解.11解法2化为线性方程.原方程变形为其通解为即12例7

3、.设且满足方程求解：即求导得：即从而求得通解又故所以13部分的面积,求曲线两边求导得解例10轴的动直线被曲线如图所示，平行与与截下的线段PQ之长数值上等于阴影所求曲线为14二、伯努利(Bernoulli)方程伯努利方程的标准形式:令求出此方程通解后,除方程两边,得换回原变量即得伯努利方程的通解.解法:(线性方程)15例1.求方程的通解.解:原方程两边同时乘以则方程变形为其通解为将代入,得原方程通解:得:令两边同时对x求导得：16解例2原式17例3：求的通解。原方程整理得：方程两边同乘以令代入原方程整理得

4、：原方程的通解：解18用适当的变量代换解下列微分方程:解所求通解为例419解分离变量法得所求通解为用适当的变量代换解下列微分方程:例420内容小结1.一阶线性方程方法1先解齐次方程,再用常数变易法.方法2用通解公式化为线性方程求解.2.伯努利方程21思考与练习判别下列方程类型:提示:可分离变量方程齐次方程线性方程线性方程伯努利方程22(雅各布第一·伯努利)书中给出的伯努利数在很多地方有用,伯努利(1654–1705)瑞士数学家,位数学家.标和极坐标下的曲率半径公式,1695年版了他的巨著《猜度术》,上的

5、一件大事,而伯努利定理则是大数定律的最早形式.年提出了著名的伯努利方程,他家祖孙三代出过十多1694年他首次给出了直角坐1713年出这是组合数学与概率论史此外,他对双纽线,悬链线和对数螺线都有深入的研究.23例5.求方程的通解.解:注意x,y同号,由一阶线性方程通解公式,得故方程可变形为所求通解为这是以为因变量,y为自变量的一阶线性方程24例7.设有微分方程其中试求此方程满足初始条件的连续解.解:1)先解定解问题利用通解公式,得利用得故有252)再解定解问题此齐次线性方程的通解为利用衔接条件得因此有3)

6、原问题的解为26解代入原式分离变量法得所求通解为另解用适当的变量代换解下列微分方程:例427