一类高考导数压轴题的统一解法.doc

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1、一类高考导数压轴题的统一解法黑龙江省大庆实验中学姜本超导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力.作为压轴题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在.2011年全国新课标卷理科数学21题就是一道典型的以导数为背景，通过求最值分类讨论解决恒成立问题。学生在思考的过程中会产生两种常见的想法，但并不是每一种方法都能达到预期的效果，下面我们就来探讨一下解决这类问题的统一方法。原题：（2011年高考试题全国新课

2、标卷理科数学21题）已知函数，曲线在点处的切线方程为．（I）求的值；（II）如果当且时，，求的取值范围．解：（I）略（II）由（Ⅰ）知．考虑函数，则．(i)设，由知，当时，．而，故当时，，可得；当时，从而当时，恒成立（ii）设由于当故而时，与题设矛盾（iii）设故当可得出矛盾综合可得的取值范围是评析：该题在解决的过程中是通过构造一个新的函数，通过讨论该函数的单调性和零点，找出恒成立的范围，再举出反例将其它范围舍去。在解决该类问题时还有一个常见的办法，就是分离变量，下面我们试一试。解：分离变量得由于在时没有意义，故变形为，令则，易知当时取到最小值

3、所以，所以所以恒成立，故的取值范围是评析：采用分离变量方法使计算过程变得简单明了，但仔细观察不难发现，这样的分离变量是有问题的，因为在时原函数是没有意义的，我们并不知道在时的极限，并且要证明函数的连续性，这些知识超出了高中的学习范围，是大学知识。事实证明，采用分离变量是存在问题的。对于这样的类型题有两个常见的方法可以选择，方法一：利用导数性质判断函数的单调性，研究函数的值域，分类讨论得出结果。方法二：大学知识辅助分离变量法。在高中阶段适合学生的是方法一，下面再举一例：案例1：（2010年高考试题全国新课标卷理科数学21题）设函数（I）若求的单调

4、区间.（Ⅱ）若时求的取值范围.解：（I）略（Ⅱ）解：，若，则由（I）知所以，所以即若，由（I）知，则，即，当时，由于所以，所以当时不成立，故这道题的第二问是否也可以采取分离变量的方法呢？我们可以尝试一下：由已知得，令,由图像知时取到极小值，且，由罗必塔法则可求得极限为，再根据函数的连续性可知.在高中阶段我们并没有学习求极限的方法，所以这道题不可以分离变量。那么2011年的高考题也有这样的情况吗？令，由函数图像知时取得极小值，可对求极限，由罗必塔法则得，所以。还有其它的高考题具有同样的特点吗？案例2：（2007年高考试题全国卷Ⅰ理科数学22题）设

5、函数（I）证明：的导数（Ⅱ）若对所有都有求的取值范围。解：（Ⅰ）略（Ⅱ）令，则，（ⅰ）若，当时，，故在上为增函数，所以，时，，即．（ⅱ）若，方程的正根为，此时，若，则，故在该区间为减函数．所以，时，，即，与题设相矛盾．综上，满足条件的的取值范围是该题若进行分离变量即，令，由图像可知时取到极小值，但，由罗必塔法则可求得极限，所以，该题仍然可以用相同的方法解决。评析：以上三道高考题具有相同的特点，即第二问都可以通过讨论的方式，一部分范围是恒成立的，而另一部分范围则需要举出反例，舍去。在解决的过程中，通常还得用到恒等变形，适当放缩，所以难度都很大，在

6、考场上想利用高中知识迅速准确的做对，都非常困难。在近五年高考中，全国卷共考了五次，不得不让我们对它给予高度的重视和研究。探究一下这类问题的本质，他们都不是连续函数，在无意义的点是不连续的，该点是函数的间断点，而且是函数的可去间断点，在间断点的两侧，该函数是单调函数，而且都是左减右增。利用大学知识，罗必塔法则可以求出该点的极限值，这三题的答案都是小于等于号，说明该极限值是一个极小值，这个极限值就是临界值。此类问题以大学数学中的函数连续为背景，存在着一个可去间断点，这个点就是讨论的重点。在高中阶段，无法求出极限值，极小值，只能通过分类讨论等办法，探

7、求参数的取值范围。由上面的几道例题不难得出解决该类问题的统一方法，分两步走：一、通过分类讨论，探求使结论成立的参数范围，证明其恒成立。二、通过举出反例，将不符合要求的部分舍去。下面给出两个练习题，供大家思考：练习1：（2010年全国Ⅱ理数22题）设函数（I）证明：当（Ⅱ）设当时，求得取值范围。答案：（I）略（Ⅱ）练习2：（2011年高考全国Ⅰ文数21题）设函数（I）若，求的单调区间；（Ⅱ）若当时求的取值范围；答案：（I）略（Ⅱ）