构建一个简单结论,简解一类导数难题——一类高考导数压轴题的逆否转化解法的改进.pdf

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1、2014年第4期中学数学研究·3l·提示语备注参考文献你理解题目中的有关概念、术语吗?初始表征[1]王文清．数学中的一种重要能力一看成能力[J]．中学数学研究．2004(7)．本题的关键是什么?抓住关键词，寻找突破点[2]王文清．利用向量数量积的几何意义解决线性规划最值是否应当引入适当的符符号表征问题——兼谈看成能力[J]．中学数学杂志．2010(1)．号?能用不同方式来叙述问题吗?在不同表征之间进行转换能用图形表示问题吗?图形表征构建一个简单结论，简解一类导数难题类高考导数压轴题的逆否转化解法的改进江苏省南通高等师范学校(226

2、006)姜黎鑫文[1]通过对近六年的新课程高考卷中“已知决这一类导数难题的一个简捷解法，作为文[1]的含参a的不等式)≥g()(≥O)恒成立，求实改进，成文如下，以供参考．数a的取值范围”一类导数压轴题的研究分析，给首先给出如下命题：出了解决这一类问题的一种有效办法“逆否转化命题如果函数)在[a，b]上具有连续导法”，运用这种方法解题分3步：数，当∈[a，b]时)≥0恒成立，且口)=0，第1步(求充分性)：由于题目隐含0)：那么)在[a，b]上必定是先单调递增(非严格递g(0)，故V≥0()≥g()V≥0)≥增)的．g()，由厂(

3、)≥g()(≥0)恒成立得出a的范该命题的正确性可以用反证法证明：假设)围(充分条件)；在[a，b]上先单调递减(严格递减)，则必存在b≥第2步(验必要性)：证明“Vx≥0)≥。>a，使)<口)=0，这与)≥0恒成立g()口∈M”(因其逆否命题为“a∈cRjj≥矛盾，故假设不成立，从而命题正确．0)

4、非负．这可以从下图得到直观验证．这类问题的常规思路是先一边化零，令()=‘yYj=)一g()，将条件转化为h()≥0，求h()时，再对参数a分类讨论而获解．而文[1]另辟蹊／1径，先求充分性，再验证必要性．而必要性的验证是一一0aa+pbOaa+pb转化为逆否命题来实现，这一等价转化突破了直接验证的难点，起到了出奇制胜的效果．但从文[1]所为便于解题表述，将上述命题等价叙述成：举例题来看，通过逆否命题间接验证必要性并非十定理1．如果函数厂()在[a,b]上可导，且当分容易，本人通过研究，发现了一个有用的简单结∈[a，b]时)≥0恒

5、成立a)=O，那么存在P论，运用该结论可以很容易验证必要性，从而获得解>O，使得∈[a，a+P)时()≥0恒成立．·32·中学数学研究2014年第4期类似地，有：ax，即，()≥0成立j存在P>0，使得∈[0，P)定理2如果函数)在[o，6]上可导，且当时，F()≥0恒成立F(0)≥0=(0)一口≥E[。，b]时)≤0恒成立口)=0，那么存在POj2一口≥0口≤2(必要性)．>0，使得任意∈[口，o+P)时()≤0；综上，实数a的取值范围是(一∞，2]．如果函数厂()在[口，b]上可导，且当戈∈[n，例3(文[1]例3，2008年

6、全国卷Ⅱ第22题)b]时)≥0恒成立，(6)=0，那么存在p>0，设函数)=使得任意∈(6一p，b]时()≤0；二1_U(1)求)的单调区间；如果函数)在[a，6]上可导，且当∈[0，(2)如果对任何≥0，都有)≤0，求口的b]时)≤0恒成立，h(b)=0，那么存在P>0，使得任意∈(b—P，6]时()≥0．取值范围．’下面主要以文[1]的几道例题来说明定理的运解-(，)：用．例1(文[1]例1，2006全国卷Ⅱ第20题)设=<丌弩(∈函数)=(+1)ln(x+1)，若对所有≥0，都有戈)≥n成立，求实数口的取值范围．z)时，c。

7、s>一'厂()>0；当2k仃+<<解：对所有的≥0都有)≥口成立，即)一口≥0恒成立，令F()=)一嬲，显然r(o)=2k7r+(∈z)时，c。懿<一÷，厂()

8、i}仃+)(∈z)又()≥r(o)在≥0上成立的一个充分条件是F()≥0，即F()=厂()一口≥0，即n≤上是增函数，在每一个区间f2+竽，2+f(x)=ln(x+1)+1，即口≤())i，而当≥0时’厂()=ln(x十1)+1是增函数，所以竿)(后∈z)上是减函数．(．，，())i=厂

9、(0)=ln(O+1)+1=1，所以口≤(2)对任何≥0都有)≤n成立，即)1(充分性)．一0≤0恒成立，令，()=)一口，显然F(O)=又根据定理1，由对所有的≥0都有．厂()≥0，故，()一Ⅱ≤0等价于V(x)≤F(0)．又F(x)0戈，即F(