一类导数高考压轴题的通解

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1、一类导数高考压轴题的通解笔者发现一类运用导数求解关于含参不等式恒成立的高考压轴题在很多省市的高考试卷中出现，学生普遍感觉此类问题较难处理，而有些关于此类问题解法的文章又有瑕疵.为此，笔者取长补短，给出此类问题简洁的通解，供读者参考.例1（2010年全国高考新课标卷理科第21题）设函数.(Ⅰ)若，求的单调区间；(Ⅱ)若当时，，求的取值范围.高考命题组提供的标准解答：(Ⅰ)当时，，.当时，；当时，.故在上单调递减，在上单调递增.(Ⅱ).由(Ⅰ)知，当且仅当时等号成立.故，从而当，即时，，而，于是当时，.由可得.从而当时，，故当时，

2、，而，于是当时，.综上,的取值范围为.分析：上述解法中(Ⅱ)的关键是利用(Ⅰ)获得的不等式，解法巧妙，但可操作性不高，解法难推广.事实上，有如下更符合学生逻辑思维的一般解法.简解：(Ⅰ)同高考标准解答，略.(Ⅱ)因为（此时式子中有，不好讨论，故可考虑求二阶导数，并注意到），故，易知在区间上单调递增，故（由于值的正负影响的单调性，故需讨论）.5(ⅰ)当，即时，对，有，故在上单调递增，故，在上单调递增，此时恒有成立，故符合题意.(ⅱ)当，即时，令得，故在区间上单调递减，此时，这与题设矛盾，故不符合题意.综上,的取值范围为.点评：此

3、题通过对不断求导直到能便捷讨论的取值为止，当然解题过程中，和值的正负很关键，相比较高考参考答案，笔者认为此法更适合学生，更具有普遍性.例2（2010年全国高考湖北卷理科第21题）已知函数的图象在点处的切线方程为.(Ⅰ)用表示出、；(Ⅱ)若在上恒成立，求的取值范围；(Ⅲ)证明：.(Ⅰ)、(Ⅲ)解法略，高考命题组提供(Ⅱ)的标准解答：由(Ⅰ)知，，令，则，.(ⅰ)当时，.若，则，即是减函数，所以，所以.故在上恒不成立.(ⅱ)当时，.当时，，，所以.故在上恒成立.5综上,的取值范围为.分析：同例1的分析思路，有如下更符合学生逻辑思维

4、的一般解法.简解：由(Ⅰ)知，，令，，，则，，则，.∵，∴在上单调递增，∴.(ⅰ)当，即时，对，有，故在上单调递增，故，即，∴在上单调递增，此时恒有成立，即，故符合题意.(ⅱ)当，即时，令，得，故在区间上，故在上单调递减，故，即在区间上，∴在上单调递减，此时，即，这与题设矛盾，故不符合题意.综上,的取值范围为.点评：此类问题常常需要构造一个新函数来解决.例3（2010年全国高考全国卷Ⅱ理科第22题）设函数.(Ⅰ)证明：当时，；(Ⅱ)设当时，，求的取值范围.高考命题组提供的标准解答：(Ⅰ)当时，当且仅当，令，则.当时，，则在上单

5、调递增；当时，，则在上单调递减，于是在处达到最小值，即5R，即，所以当时，.(Ⅱ)由题设，此时.当时，若，则，不成立；当时，令，则当且仅当..(ⅰ)当时，由(Ⅰ)知，，在上是减函数，，即.(ⅱ)当时，由(Ⅰ)知..当时，，所以，即.综上,的取值范围为.分析：此题(Ⅱ)的标准解答技巧性很强，略显突兀，学生普遍反映能看懂，但想不到.能否有更好、更自然的解答呢？注意到此类问题基本一样，同例2有如下简解.简解：(Ⅰ)略.(Ⅱ)由题设，此时.当时，若，则，不成立；当时，令，则.，.当时，.令，则，.易知在区间上单调递减，故.(ⅰ)当，即

6、时，对，有，故在上单调递减，故，即.∴，即，∴在上单调递减，此时恒有5成立，即成立，故符合题意.(ⅱ)当，即时，令得，故在区间上，故在上单调递增，故，即，∴，即，∴在上单调递增，此时有成立，此时，这与题设矛盾，故不符合题意.综上,的取值范围为.点评：此类问题是有统一通法来解决的，关键是构造新的函数或将原函数经过若干次求导到足以判断单调性而得到参数的讨论标准，对参数取值的另一面只需找出一个与题设矛盾的区间即可，当然解题过程中的一些细节处理应引起重视.从上述解法可知此类问题解答与题设第(Ⅰ)小题无任何关系，即将题目设置为仅有第(Ⅱ

7、)小题，此类问题也能轻松获解.当然读者也可以尝试从曲线切线或从其他角度思考此类问题是如何命制的，限于篇幅不再赘述.参考文献[1]李真福.三道年份不同的高考题的统一解法[J].数学通讯，2008（18）：16-17.[2]李祥春，蔡刚，张绍治.一类高考题的高等数学背景[J].数学通讯，2009（4）：16.[3]刘金.一类高考题的统一解法[J].数学通讯，2010（11-12）：58-60.5