一元二次方程的应用--知识讲解(基础).doc

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1、一元二次方程的应用--知识讲解（基础）【学习目标】1.通过分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决实际问题，总结运用方程解决实际问题的一般步骤；2.通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.【要点梳理】要点一、列一元二次方程解应用题的一般步骤1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.2.解决应用题的一般步骤：　　　审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；　　　设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；　　　列(根据题目中的等量关系，列出方程)；　　　解(解方程，注意分式

2、方程需检验，将所求量表示清晰)；验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）　　　答(写出答案，切忌答非所问).要点诠释：列方程解实际问题的三个重要环节：　　　一是整体地、系统地审题；　　　二是把握问题中的等量关系；　　　三是正确求解方程并检验解的合理性.要点二、一元二次方程应用题的主要类型1.数字问题(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、　　　千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中

3、的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：　　　　　100c+10b+a.　(2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.　　　如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1.　　　几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.　　　如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2

4、.2.平均变化率问题　　列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.(1)增长率问题：　　平均增长率公式为(a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.)(2)降低率问题：　　平均降低率公式为(a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.)3.利息问题(1)概念：　　本金：顾客存入银行的钱叫本金.　　利息：银行付给顾客的酬金叫利息.　　本息和：本金和利

5、息的和叫本息和.　　期数：存入银行的时间叫期数.　　利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率.(2)公式:　　利息=本金×利率×期数　　利息税=利息×税率　　本金×(1+利率×期数)=本息和　　本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时)4.利润(销售)问题　　利润(销售)问题中常用的等量关系：　　利润=售价-进价(成本)　　总利润=每件的利润×总件数　　5.形积问题　　此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内

6、在关系并列出方程.要点诠释：列一元二次方程解应用题是把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.这是在解决实际问题时常用到的数学思想—方程思想.【典型例题】类型一、数字问题1．已知两个数的和等于12，积等于32，求这两个数是多少．【答案与解析】设其中一个数为x，那么另一个数可表示为(12-x)，依题意得x(12-x)＝32，整理得x2-12x+32＝0解得x1＝4，x2＝8，当x＝4时12-x＝8；当x＝8时12-x＝4．所以这两个数是4和8．【总结升华】数的和、差、倍、分等关

7、系，如果设一个数为x，那么另一个数便可以用x表示出来，然后根据题目条件建立方程求解．举一反三：【变式】有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字少2，求这个两位数.【答案】设个位数字为，则十位数字为.由题意，得：整理，得：解方程，得：∴经检验，不合题意,舍去（注意根的实际意义的检验）∴当时,=2∴答：这个两位数为24.类型二、平均变化率问题2．（2016•巴中）随着国家“惠民政策”的陆续出台，为了切实让老百姓得到实惠，国家卫计委通过严打药品销售环节中的不正当行为，某种药品原价200元/瓶，经过连续两次

8、降价后，现在仅卖98元/瓶，现假定两次降价的百分率相同，求该种药品平均每场降价的百分率．【思路点拨】设该种药品平均每场降价的百分率是x，则两个次降价以后的价格是200（1﹣x）2，据此列出方程求解即可．【答案与解析】解：设该种药品平均每场降价的百分率是x，由题意得：200（1﹣x）2=98解得：x1=1.7（不合题意舍去），x2=0.3=30%．答：该种药品平均每场降价的