17.5一元二次方程的应用讲解与例题.doc

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1、一元二次方程的应用1．列一元二次方程解应用题的步骤(1)应用题考查的是如何把实际问题抽象成数学问题，然后用数学知识和方法加以解决的一种能力，列方程解应用题最关键的是审题，通过审题弄清已知量与未知量之间的等量关系，从而正确地列出方程．概括来说就是实际问题——数学模型——数学问题的解——实际问题的答案．(2)一般情况下列方程解决实际问题的一般步骤如下：①审：是指读懂题目，弄清题意和题目中的已知量、未知量，并能够找出能表示实际问题全部含义的等量关系．②设：是在理清题意的前提下，进行未知量的假设(分直接与间接)．③列：是指列方

2、程，根据等量关系列出方程．④解：就是解所列方程，求出未知量的值．⑤验：是指检验所求方程的解是否正确，然后检验所得方程的解是否符合实际意义，不满足要求的应舍去．⑥答：即写出答案，不要忘记单位名称．找出相等关系的关键是审题，审题是列方程(组)的基础，找出相等关系是列方程(组)解应用题的关键．【例1】某单位组织员工去某风景区旅游，共支付给阳光旅行社旅游费用27000元．请问该单位这次共有多少员工去该风景区旅游？分析：人数×人均旅游费用＝付给旅行社的总费用，可设这次共有x名员工去某风景区旅游，由于1000×25＝25000＜2

3、7000，所以员工人数肯定超过25人，由于人数比25增加了(x－25)人，因此人均费用比1000元降低了20(x－25)元，即此时人均费用为[1000－20(x－25)]元．这类问题的解决通法是设出未知数后，用未知数与给出的一组数据作比较，比较的目的就是利用规律表示出相等关系，进而得到方程，解出方程后，还需判断解是否符合实际意义．解：设该单位这次共有x名员工去风景区旅游．因为1000×25＝25000＜27000，所以员工人数一定超过25人．可得方程[1000－20(x－25)]x＝27000.整理，得x2－75x＋1

4、350＝0，解得x1＝45，x2＝30.当x1＝45时，1000－20(x－25)＝600＜700，故舍去x1；当x2＝30时，1000－20(x－25)＝900＞700，符合题意．答：该单位这次共有30名员工去风景区旅游．2．常见应用题类型(1)数字问题解有关数字问题的应用题，首先要能正确地表示诸如多位数、奇偶数，连续的整数的形式，如一个三位数可表示为100a＋10b＋c，连续三个偶数可表示为2n－2，2n,2n＋2(n为整数)等，其次解这类问题的关键是正确而巧妙地设出未知量，一般采用间接设元法，如有关奇数个连续数问

5、题，一般设中间一个数为x，再用含x的代数式表示其他数，又如多位数问题，一般设这个多位数的某个数位上的数字，再用代数式表示其余数位上的数字，等量关系由题目中的关键语句“译出”．(2)增长率问题增长率问题分正增长率问题与负增长率问题．这类问题是在原来的量的基础上增长(或降低)多少个百分比的问题．若设原来的产量为a，年平均增长率为x，则一年后的产量为a(1＋x)．而两年后的产量又以a(1＋x)为基础，因平均增长率为x，可表示为a(1＋x)(1＋x)＝a(1＋x)2.同样，若x表示平均降低率，则一年后产量为a(1－x)，两年后

6、产量为a(1－x)2.也就是说，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义后，即可利用公式a(1＋x)2＝b求解，其中a＜b.对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式a(1－x)2＝b即可求解，其中a＞b.【例2－1】某两位数的十位数字与个位上的数字之和是5，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调后，所得的新两位数与原两位数的乘积为736，求原来的两位数．分析：本题等量关系比较明显：新的两位数×原来的两位数＝736，关键是如何表示出这两个两位数和整理方程，要注意检验是否求得的解都符合题意

7、．解：设原两位数的十位数字为x，则个位数字为(5－x)，由题意，得[10x＋(5－x)][10(5－x)＋x]＝736.整理，得x2－5x＋6＝0，解得x1＝2，x2＝3.当x＝2时，5－x＝3，符合题意，原两位数是23.当x＝3时，5－x＝2符合题意，原两位数是32.答：原来的两位数是23或32.【例2－2】我国人均用纸为28千克，每个初中毕业生离校时大约有10千克废纸；用1吨废纸造出来的再生好纸，所能节约的造纸木材相当于18棵大树，而平均每亩森林只有50至80棵这样的大树．(1)若某市2012年初中毕业生中环保意识

8、较强的5万人，能把自己离校时的全部废纸送到回收站使之制造为再生好纸，那么最少可使多少亩森林免遭砍伐？(2)该市从2008年初开始实施天然林保护工程，到2010年初成效显著，森林面积大约由1374.094万亩增加到1500.545万亩．假设该地区年用纸量的15%可以作为废纸回收利用，并且森林面积年均增长率保持不变，请你按该市总人口为