解析函数的罗朗(Laurent)展式与孤立奇点第五章第二节课件.ppt

《解析函数的罗朗(Laurent)展式与孤立奇点第五章第二节课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、5.2解析函数的有限孤立奇点5.2.1孤立奇点的分类5.2.2孤立奇点的性质1.可去奇点的性质2.极点的性质3.本性奇点的性质5.2.3Picard定理5.3.4Schwarz引理定义5.2如果f(z)在点a的某一去心邻域K-{a}:0<

2、z-a

3、

4、的主要部分为零,则称a为f(z)的孤立奇点.(2)如果f(z)在点a的主要部分为有限多项,则称a为f(z)的m阶(级)极点.一级极点也称为简单极点.(3)如果f(z)在点a的主要部分有无限多项,则称a为f(z)的本性奇点.设为定理5.3a为f(z)的可去奇点5.2.2孤立奇点的性质1.可去奇点或(2)(1)f(z)在点a的主要部分为零;或(3)f(z)在点a的某去心邻域内有界证只需证(1)(2);(2)(3);(3)(1)(1)推出(2)：由(1)知于是(2)推出(3):即例1.27.

5、f(z)

6、≤M(M>0).考虑f(z)在点a的主要部分(3)推出(1):设当

7、a∈K-{a}＝{z

8、0<

9、z-a

10、

11、来看,只要令g(a)=0,a就为g(z)的m级零点.(3)推出(1):如果以点a为m级零点,则在点a的某邻域内定理4.17其中在此邻域内解析,且.这样一来因1/(z)在点a某邻域内解析(例1.28),则可展成泰勒级数，设为：于是f(z)在点a的主要部分就是定理5.5f(z)的孤立奇点a为极点的充要条件是定理5.6f(z)的孤立奇点a为本性奇点3.本性奇点的性质证明：(反证法)若a不是f(z)的本性奇点a是f(z)的可去奇点a是f(z)的极点a是f(z)的可去奇点a是f(z)的极点矛盾！定理5.7若z=a为f(z)之一本性奇点,且在点a的充分小去心邻域内不为零

12、,则z=a亦必为的本性奇点.证（反证法）①若z=a为(z)的可去奇点(解析点),都与假设②若z=a为(z)的极点a为f(z)的可去奇点a为f(z)的可去奇点a为f(z)的极点.由假设,z=a必为矛盾！定理5.8如果a为f(z)的本性奇点,则对于任何常数A,不管它是有限数还是无穷,都有一个收敛与a的点列{zn},使得换句话说,在本性奇点的无论怎样小的去心邻域内,函数f(z)可以取任意接近于预先给定的任何数值(有限的或无穷的).5.2.3Picard(毕卡)定理证(1)在A＝∞的情形,定理是正确的.因为函数f(z)的模在a的任何去心邻域内都是无界的.否则,a

13、必为f(z)的可去奇点.(2)现在设.这样,由定理5.7,函数在K-{a}内解析,且以a为本性奇点(因a为f(z)的本性奇由此推出可能有这种情形发生,在点a的任意小的邻域内有这样一点z存在,使f(z)=A.定理得证因此,我们可以假定,在点a的充分小去心邻域K-{a}内f(z)≠A点).根据前面(1)段的结果,必定有一个趋向a的点列{zn}存在,使得用下列例子来验证定理5.8成立例5.9A=∞A≠∞例5.10A=∞A=0A≠∞,A≠∞定理5.9(毕卡(大)定理)如果a为f(z)的本性奇点,则对于每一个A≠∞,除掉可能一个值A=A0外,必有趋于a的无限点列{zn}使f(zn

14、)=A(n=1,2,…).席瓦尔兹(Schwarz)引理如果函数f(z)在单位圆

15、z

16、<1内解析,并且满足条件f(0)=0,

17、f(z)

18、<1(

19、z

20、<1),则在单位圆

21、z

22、<1内恒有

23、f(z)

24、≤

25、z

26、,)且有

27、f/(0)

28、≤1.5.2.4Schwarz引理如果上式等号成立,或在圆

29、z

30、<1内一点z0≠0处前一式等号成立,则(当且仅当)其中α为一实常数.证设让r1即得于是,且当时,有即如果这些关系中,有一个取等号,这就意味着在单位圆

31、z

32、<1内某一点z0,模数达到最大值,这只有时才可能.此即