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1、《复变函数》教案第五章解析函数的罗朗展式与孤立奇点河北民族师范学院数计系第五章解析函数的罗朗展式与孤立奇点上一章主要介绍了函数在解析点的邻域(圆)内，可以展开成通常的幂级数,但在奇点的领域内则不能，例如函数在点，现在我们考虑挖去了奇点的圆环，并讨论在圆环内解析函数的级数展开。这样将得到推广的幂级数——Laurent（罗朗）级数。它既可以是函数在孤立奇点去心领域内的Laurent展式，反过来，以它为工具就便于研究解析函数在孤立奇点去心领域内的性质。Taylor级数与Laurent级数都是研究解析函数的有力工具。第一节解析函数的罗朗展式教学课题：第一节解析函数的洛朗展式教学
2、目的：1、了解双边幂级数在其收敛圆环内的性质；2、充分掌握洛朗级数与泰勒级数的关系；3、了解解析函数在孤立奇点和非孤立奇点的洛朗级数教学重点：掌握洛朗级数的展开方法教学难点：掌握洛朗级数的展开方法教学方法：启发式、讨论式教学手段：多媒体与板书相结合教材分析：洛朗级数是推广了的幂级数，它既可以是函数在孤立奇点去心邻域内的级数展开，也可以作为工具研究解析函数在孤立奇点去心邻域内的性质。教学过程：1、双边幂级数在本节中，我们讲述解析函数的另一种重要的级数展式，即在圆环内解析函数的一种级数展式。首先考虑级数01(zz0)n2(zz0)2...n(zz0)n...104《复变函数
3、》教案第五章解析函数的罗朗展式与孤立奇点河北民族师范学院数计系1其中z0,0,1,...,n,...是复常数。此级数可以看成变量的幂级数；设这幂级数的收敛半zz01径是R。如果0R，那么不难看出，此级数在
4、zz0
5、内绝对收敛并且内闭一致收敛，R在
6、zz0
7、1内发散。同样，如果R，那么此级数在
8、zz0
9、0内绝对收敛并且内闭一R致收敛；如果R=0，那么此级数在每一点发散。在上列情形下，此级数在zz0没有意义。于是根据定理2.3，按照不同情形，此级数分别在
10、zz0
11、1R1(0R)及
12、zz0
13、0内收敛于一个解析函数。R2、解析函数的洛朗展式:更一般地，考虑级数n(zz0)n,n
14、这里z0,n(n0,1,2,...)是复常数。当级数n(zz0)n及n(zz0)n,n0n1都收敛时，我们说原级数n(zz0)n收敛，并且它的和等于上式中两个级数的和函数相加。n设上式中第一个级数在
15、zz0
16、R2内绝对收敛并且内闭一致收敛，第二个级数在
17、zz0
18、R1内绝对收敛并且内闭一致收敛。于是两级数的和函数分别
19、zz0
20、R2及
21、zz0
22、R1在内解析。又设R1R2，那么这两个级数都在圆环D:R1
23、zz0
24、R2内绝对收敛并且内闭一致收敛，于是我们说级数n(zz0)n在这个圆环内绝对收敛并且内闭一致收敛；显然它的和函数是一个解n析函数。我们称级数n(zz0)n为洛朗级数。
25、因此，洛朗级数的和函数是圆环D内的解析n函数，我们也有定理5.1（洛朗定理）设函数f(z)在圆环：D:R1
26、zz0
27、R2(0R1R2)105《复变函数》教案第五章解析函数的罗朗展式与孤立奇点河北民族师范学院数计系内解析，那么在D内f(z)n(zz0)n,n其中，n1f()d,(n0,1,2,...)2i(z0)n1是圆
28、zz0
29、,是一个满足R1R2的任何数。证明：设z是圆环D内任一点，在D内作圆环D':R'1
30、zz0
31、R2'，使得zD'，这里R1R'1R2'R2。用1'及2'分别表示圆
32、zz0
33、R'1及
34、zz0
35、R2'。由于f()在闭圆环D'上解析，根据柯西定理，有f(
36、z)1'f()d12i2z2i'1f()d，z其中积分分别是沿1'及2'关于它们所围成圆盘的正向取的。当2'时，级数1111zz(zz)zzz00001z0(zz0)nn0(z)n10一致收敛；而当1'时，级数11(z0)nz(zz0)(1z0)n0(zz0)n1z0z一致收敛。把这两个式子代入前面的式子，然后逐项积分，我们就看到f(z)有展式f(z)n(zz0)n,n其中，106《复变函数》教案第五章解析函数的罗朗展式与孤立奇点河北民族师范学院数计系1f()n1d,(n0,1,2,...)n1f()d,(n1,2,...)n'z0)'z0)n12i2(2i1(由柯
37、西定理，上面两式中的积分可以换成沿圆的积分，于是定理的结论成立。注解1、由于函数f(z)的解析区域不是单连通区域，所以公式n1f()n1d,(n0,1,2,...)不能写成：nf(n)(z0).2i(z0)n!注解2、我们称n(zz0)n为f(z)的解析部分，而称n(zz0)n为其主要部分。n0n1注解3、我们称n(zz0)n,为f(z)的洛朗展式。n定理5.2设洛朗级数n(zz0)n在圆环nD:R1
38、zz0
39、R2(0R1R2)中内闭一致收敛于和函数g(z)，那么此展式就是g(z)在D内的洛朗展式：g(z)n(zz0)n.n证明：现在把系
