第一节 解析函数的罗朗级数展式与孤立奇点

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1、第5章：解析函数的罗朗级数展式与孤立奇点§1解析函数的罗朗级数展式一、教学目标或要求：掌握解析函数的罗朗展式二、教学内容（包括基本内容、重点、难点）：基本内容：解析函数的罗朗展式解析函数的罗朗展式与泰勒级数的关系例题重点：解析函数的罗朗展式难点：例题三、教学手段与方法：讲授、练习四、思考题、讨论题、作业与练习：1－2§1解析函数的罗朗级数展式1.双边幂级数称级数（5.3）为双边幂级数，其中与为复常数，称为双边幂级数（5.3）的系数．当与都收敛时，称双边幂级数收敛。类似地,可定义双边幂级数的绝对收敛、一致收敛、内闭一致收敛。.收敛区域(正则部

2、分或解析部分)在收敛圆　　内表示一个解析函数；对（主要部分），令，则上述级数化为　　　，设它的收敛区域为,换回到原来的变量,即知原级数在内收敛，表示一个解析函数(也是绝对收敛且内闭一致收敛的)；因此，双边幂级数在圆环内表示一个解析函数。特别地，当主要部分恒为零时,双边幂级数即为幂级数,在某个收敛圆内表示一个解析函数。定理5.1设双边幂级数的收敛圆环为,则（1）在内绝对收敛且内闭一致收敛于；（2）在内解析；（3）在内可逐项求导次。2.解析函数的罗朗展式定理5.2　若级数（5.3）的收敛圆环为，则级数（5.3）在内绝对收敛，且在内每个较小的同心

3、闭圆环上一致收敛，其和函数在内为解析函数．定理6.2　若函数在圆环内解析，则在内可展成双边幂级数为（5.4）其中（5.5）这里的为圆周，并且系数被及圆环唯一确定．证设为内任意取定的点，总可以找到含于内的两个圆周　　　　　　使得含在圆环内。因为在闭圆环上解析，由柯西积分公式有　或写成　　对于第一个积分，根据泰勒定理的证明，有　　　　　类似地，考虑第二个积分，　　　，　　当时,　　于是,　沿逐项积分，再同乘得　　　于是　　　　　　　现在考察系数。由复围线的柯西积分定理，对任意圆周，　　　　　　　　　　　　　　统一成　因为系数与我们所取的无关，故

4、在圆环内。　最后证明展式的唯一性。设在圆环内又可展成下式:由于它在圆周上一致收敛,乘以沿上的有界函数仍然一致收敛，故可逐项积分得　　　　　　根据重要积分的结论知右端级数中那一项积分为,其余各项为零，于是，。3.级数与泰勒级数的关系当已给函数在点处解析时，罗朗级数就转化为泰勒级数　,因此，泰勒级数是罗朗级数的特殊情形。例将在及，内分别展开成罗朗级数.解：(i)在内:　　　　　　　　　　　　　右端第一项在内可展开，而第二项在即内可展开.故在展式为：　　　　　　　　　　　　　(ii)在内，由于,，所以　　　　　　　　　　　　(iii)在内：　　　

5、　　　　　　　　例试将在圆环内展成罗朗级数．解首先，知道在圆环内解析，所以，在该圆环内可展成罗朗级数，且展式是唯一的．其次，利用展式将展成罗朗级数．由得及故4.解析函数在孤立奇点邻域内的罗朗展式定义5.2如果在点的某一去心邻域内解析，点是的奇点，则称为的一个孤立奇点。例将在内展成Laurent级数。解：　　　例试将在点的去心邻域内展成罗朗级数．解首先，确定使在其中解析的点的最大去心邻域为．其次，将展成罗朗级数，有例试将在点的去心邻域内展成罗朗级数．解法1首先，求出使可展的点的去心邻域。因的有限奇点只有，所以，使可展的点的去心邻域为。其次，将

6、在内展开，有　　　　　　　　解法2首先，求出使可展的点的去心邻域。与解法1相同，在内可展。其次，将问题归为在原点的展开来处理。为此，令，于是，若令，则问题归结为将在点的去心邻域内展成罗朗级数。为此，先求出使可展的点的去心邻域。因的有限奇点只有，所以，使可展的点的去心邻域为。其次，由于即为在内的罗朗级数，所以，将代入后得即为所求。