第五节解析函数洛朗展式和孤立奇点.ppt

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1、第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点第一节解析函数的洛朗展式第二节解析函数的孤立奇点第三节解析函数在无穷远点的性质形如的级数称为双边幂级数第一节解析函数的罗朗展式1双边幂级数正则部分是幂级数，故收敛圆对于主要部分，可作代换成为一幂级数它的收敛区域为因此当　　时，两者有公共的收敛区域即圆环：　　　。在此圆环内有定理5.1　　设双边幂级数的收敛圆环为则（1）（5.1）在　　　内绝对收敛且内闭一致收敛于（2）　　　　在　　　内解析（3）级数在　　内可逐项求导任意次。2、解析函数的罗朗展式定理5.2（罗朗定理）在圆环内解析

2、的函数必可展开成双边幂函数其中且展式唯一定义5.1（5.2）称为在点的罗朗展式，（5.3）称为其罗朗系数，而（5.2）右边的级数则称为罗朗级数。注意泰勒级数是罗朗级数的特殊情形。例5.1将函数在下列三个区域内（1）圆（2）圆环（3）圆环内求　　　　　的罗朗展式。解：首先（１）在圆　　　　内（２）在圆环　　　　　内有故（３）在圆环　　　　　　　上故3、孤立奇点邻域内的罗朗展式定义5.2若　　　　　在奇点　　　的某一去心邻域内解析，则称　　为的　　　　一个孤立奇点。若　　　为　　　　的一个孤立奇点，则必存在数　　　，

3、使在　　　的去心邻域内　　　　可展成罗朗级数。例5.2求在其孤立奇点的去心邻域内的罗朗展式。解：有两个奇点　　　　和　　　。在　　　　　　　的（最大）去心邻域内在　　　　　　的（最大）去心邻域内5.2解析函数的孤立奇点１孤立奇点的分类可去奇点、极点、本性奇点。定义5.3设　　是　　　　的孤立奇点，（1）若主要部分为0，则称　　是　　　　　　　　　的可去奇点f(z)。（2）若主要部分为有限多项，则称　是　　　的极点，此时主要部分的系数必满足此时称为极点　　阶级点，　　亦称为　　级极点。若主要部分有无限多项，则称　　

4、是f(z)的本性奇点。2、可去奇点的判断定理5.3设　　为　　　的孤立奇点，则下述等价：（1）在　　的主要部分为0；（2）（３）　　　在点　　的某去心邻域内有界。证：（1）　　（2）由（1）有因此（2）　　（3）即例1.27（3）　　（1）考虑主要部分的系数其中　　　　　　　　　可任意小，故极点定理5.4若　　　　以点　　　为孤立奇点，则下述等价（1）是　　　级极点，即主要部分为（２）在点　　的去心邻域内有且　　　　　　解析且（３）以　　　为　　　级零点。定理5.5的孤立奇点　　　为极点的充分必要条件是5、本性奇

5、点定理5.6的孤立奇点　　　为本性奇点的充分必要条件是定理5.7若　　　　为　　　　之一本性奇点，且在点　　的充分小去心邻域内不为零，则　　　亦必为的本性奇点。如：为　　　的本性奇点，　　亦为　　　　的本性奇点。6、毕卡定理定理5.8若　　为　　　　　的本性奇点，则对任意数　　（可以是　　），都有一个收敛于　　的点列使定理5.9（毕卡大定理）若　　为　　的本性奇点，则对每一个　　　　　，除掉可能一个值　　　外，必有趋于　的无限点列　　　使第三节解析函数在无穷远点的性质定义5.4设函数　　　　在无穷远点（去心）邻域

6、内解析，则称　　　为　　　的一个孤立奇点。作变换　　　　　于是函数在去心邻域内解析。即　　　是的一孤立奇点，依此可规定　　　的类型。定义5.5若　　　为　　　　　的可去奇点、　　　级极点或本性奇点，则我们相应地称　　　　　为的可去奇点、　　级极点或本性奇点。类似于有限孤立奇点的分类，可依在的主要部分的项数对进行分类。主要部分为例5.6求出（1）　　　　　　（２）的奇点（包括　　），并确定其类别解：（1）以　　　　　为可去奇点为一级极点为非孤立奇点（因　　　　　是　　　的聚点）（2）令　　　　　　　　　，得该函数的

7、所有奇点为是一级极点，　　　　是非孤立奇点，因是　　的聚点。至于　　　　应是可去奇点。例5.7若　　　　在内解析，且不恒为零，又若有一列异于　　　但却以　　为聚点的零点，试证　　　必为　　　　的本性奇点。证：　　　　是的孤立奇点，且不能是可去奇点，若不然，令　　　　则在　　　　　　内解析且由假设有以　　　为聚点的一列零点。由零点的孤立性，　　　　必恒为0，这与题设矛盾。其次　　　　也不能是　　　　的极点，否则　　　　　有　　　　　　，使当　　　　　　时，这亦与题设矛盾。故　　　　只能是　　　　　　的本性奇点。