解析函数的洛朗展式与孤立奇点

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1、第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点1、解析函数的洛朗展式2、解析函数的孤立奇点3、解析函数在无穷远点的性质4、整函数与亚纯函数的概念解析函数的洛朗展式：在本节中，我们讲述解析函数的另一种重要的级数展式，即在圆环内解析函数的一种级数展式。首先考虑级数其中是复常数。此级数可以看成变量的幂级数；设这幂级数的收敛半径是R。如果解析函数的洛朗展式：那么不难看出，此级数在内绝对收敛并且内闭一致收敛，在内发散。同样，如果，那么此级数在内绝对收敛并且内闭一致收敛；如果R=0，那么此级数在每一点发散。在上列情形下，此级数在没有意义。于是根据定理2.3，按照不

2、同情形，此级数分别在内收敛于一个解析函数。解析函数的洛朗展式：更一般地，考虑级数这里是复常数。当级数都收敛时，我们说原级数收敛，并且它的和等于上式中两个级数的和函数相加。设上式中第一个级数在内绝对收敛并且内闭一致收敛；解析函数的洛朗展式：第二个级数在内绝对收敛并且内闭一致收敛。于是两级数的和函数分别在又设，那么这两个级数都在圆环内绝对收敛并且内闭一致收敛，于是我们说级数解析函数的洛朗展式：在这个圆环内绝对收敛并且内闭一致收敛；显然它的和函数是一个解析函数。我们称级数为洛朗级数。因此，洛朗级数的和函数是圆环D内的解析函数，我们也有下面的洛朗定

3、理：定理7.1：定理7.1设函数f(z)在圆环：内解析，那么在D内其中，是圆是一个满足的任何数。定理7.1的证明：证明：设z是圆环D内任一点，在D内作圆环，使得，这里用分别表示圆由于在闭圆环上解析，根据柯西定理，有定理7.1的证明：其中积分分别是沿关于它们所围成圆盘的正向取的。当时，级数一致收敛；定理7.1的证明：而当时，级数一致收敛。把这两个式子代入前面的式子，然后逐项积分，我们就看到f(z)有展式定理7.1的证明：其中，由柯西定理，上面两式中的积分可以换成沿圆的积分，于是定理的结论成立。注解：注解1、由于函数f(z)的解析区域不是单连通

4、区域，所以公式不能写成：注解2、我们称为f(z)的解析部分，而称为其主要部分。注解3、我们称为f(z)的洛朗展式。定理7.2：定理7.2设洛朗级数在圆环中内闭一致收敛于和函数g(z)，那么此展式就是g(z)在D内的洛朗展式：。定理7.2的证明：证明：现在把系数用g(z)计算出来。在D内任取一圆，用乘以定理中展式的两边，然后沿求积分。由于所讨论的级数在上一致收敛，在求积分时，对有关级数可以逐项积分，于是我们有定理7.2的证明：这里因为上式中求和记号后各项只有在n=k时不为零，因此定理的结论成立。注解：此定理表明，洛朗级数的系数可以用它的和函数

5、来计算，同时，这也表明，g(z)在D内不可能有其他形式的洛朗展式，因此我们有下面的解析函数洛朗展式的唯一性定理：系4.1在定理7.1的假设下，f(z)在D的洛朗展式式唯一的。例1：例1、求函数分别在圆环1<

6、z

7、<2及内的洛朗级数展式。解：如果1<

8、z

9、<2，那么利用当时的幂级数展式我们得例1：如果，那么我们有例2例2、及在内的洛朗级数展式是：例3：例3、在内的洛朗级数展式是：例：例、求函数在圆环1<

10、z

11、<3内的洛朗级数展式。解：由于1<

12、z

13、<3，那么利用当时的幂级数展式我们得例：