考研结构力学必看精华总结第14章 结构动力计算续论课件.ppt

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1、第14章结构动力计算绪论§14-1多自由度体系的自由振动§14-2多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵§14-3多自由度体系的强迫振动§14-4无限自由度体系的自由振动§14-5无限自由度体系的自由振动的常微分方程求解器解法§14-6近似法求频率§14-7矩阵位移法求刚架的自振频率§14-8用求解器求解自振频率和振型§14-9小结§14-1多自由度体系的自由振动1.刚度法振动方程为设振动方程解的形式为将上式代入振动方程，得若得到非零解，则展开形式为（a）解行列式，得到n个体系的自振频率令将代入式（a），得由此可求出第i振型

2、（b）式（b）是一组齐次方程，只能确定主振型的形状，但不能位移地确定它的振幅。振型的标准化■规定某个元素的值，如第一个元素等于1，或者最大的一个元素等于1■规定主振型满足下式例14-1试求图示刚架的自振频率和振型。设横梁的变形忽略不计，层间刚度系数和质量如图所示。解（1）求自振频率刚度矩阵和质量矩阵分别为频率方程为展开，得用试算法求得方程的三个根为因此，三个自振频率为进一步求得（2）求振型令Y31＝1，解得将代入振型方程，得令Y32＝1，解得将代入振型方程，得令Y33＝1，解得将代入振型方程，得刚度法振动方程为由得令，得故频率

3、方程为2柔度法展开为相应的振型方程为例14－2试用柔度法重做例14－1。解（1）求自振频率由各层的刚度系数得到各层柔度系数为柔度矩阵为频率方程为展开，得解得因此，三个自振频率为（2）求主振型将求得的分别代入振型方程，得到三个振型。任选体系的两个振型体系的质量矩阵为则，第一个正交关系为§14-2多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵1主振型的正交性另一种证明方法令振型方程中的i分别等于k、l，得将（a）式两边分别左乘Y（l）T、（b）式两边分别左乘Y（k）T，得考虑KT=K，MT=M，将（d）式两边转置，得式（c）-式（d），得

4、若，得第一个正交关系将第一个正交关系代入（c），得对刚度也正交对于k=l，定义——第k振型的广义质量——第k振型的广义刚度以Y（k）T前乘下式得即由此得——由广义刚度和质量求自振频率主振型正交关系的应用■判断主振型的形状特点第二振型分为两个区，各居结构的两侧，只有这样才能满足正交条件；第三振型分为三区，交替位于结构的不同侧。这样才能符合与第一、第二主振型都彼此正交的条件。■确定位移展开公式中的系数任意一个位移向量都可按主振型展开用Y（j）TM前乘上式两边由正交性，得由此求得系数为例14－3验算例14－1中所求得的主振型的正交性

5、，求出每个主振型相应的广义质量和广义刚度，并求频率解由例14－1得知刚度矩阵和质量矩阵分别为三个主振型分别为（1）验证对质量矩阵的正交性同理（2）验证对刚度矩阵的正交性同理（3）求广义质量同理（4）求广义刚度同理（5）求频率主振型向量组成的方阵转置矩阵为2主振型矩阵故同理由振型的正交性可知，非对角线上的元素等于零，主对角线上的元素为各振型的广义质量。所以振动方程为——简谐荷载若§14-3多自由度体系的强迫振动1n个自由度体系在简谐荷载下的强迫振动在平稳阶段，各质点也作简谐振动，即代入振动方程，整理后，得令若D0≠0，则讨论故,

6、当荷载频率与其中任意一个自振频率相等时,都可能出现共振现象，因此，对n个自由度体系，存在n个共振区。振动方程将位移向量按振型分解代入振动方程，并前乘YT令FP=YTFP（t）——广义荷载向量振动方程变为2多自由度体系在一般荷载下的强迫振动由于M*、K*都是对角阵，方程已经解偶，即同理，令则振型分解法由杜哈梅积分，得初始条件为代入初始条件，得例14-4已知结构的频率和振型，试求图示结构在突加荷载FP1作用下的位移和弯矩。解（1）主振型矩阵（2）建立坐标变化关系（3）求广义质量（4）求广义荷载（5）求正则坐标（6）求质点位移质点1

7、的位移时程曲线实线：虚线：（7）求弯矩振动过程中质点所受的荷载与惯性力之和为截面1的弯矩为截面1弯矩时程曲线实线：虚线：只考虑第一振型（8）讨论■由于第一和第二主振型分量并不是同时达到最大值，因此不能简单地把两分量的最大值相加。■第二主振型分量的影响比第一主振型分量的影响要小的多。■阶次愈高的振型分量的影响愈小，通常可以计算前2~3个低阶振型的影响，就可以得到满意的结果。■按无限自由度体系计算可以了解近似计算方法的应用范围和精确程度。■将无限自由度体系简化为有限自由度体系进行计算，是不完整的。■对某种类型的结构，直接按无限自由

8、度体系计算也有方便之处。§14-4无限自由度体系的自由振动■在无限自由度体系的动力计算中，时间和位置坐标都是独立变量。振动方程是偏微分方程。等截面梁弯曲时的静力平衡方程为在自由振动时，唯一的荷载就是惯性力，即因此，等截面梁弯曲时的自由振动方程为用分离变量法求解，令代入振动方程