解三角形的实际应用举例（北师大）课件.ppt

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1、解三角形的实际应用举例（一）具体内容退出目的要求布置作业归纳总结教学过程内容分析退出制作人题目一教学目的1掌握利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法；2会利用数学建模的思想，结合解任意三角形的知识，解决生产实践中的有关问题。返回重点难点解斜三角形应用题的步骤（流程图）。1同重点；2近似计算问题。内容分析二内容分析1解三角形的知识在生产实践中有着广泛的应用，如机械、测量、航海、几何、物理等方面的问题常用的解斜三角形的知识。返回下一张2在解决与三角形有关的实际问题时，常出现一些有关的名词、术语，如仰角、俯角、

2、方位角、倾斜度、铅直线等。铅直平面是指与海平面垂直的平面。仰角与俯角都是同一铅直平面内，视线与水平线的夹角，当视线在水平线之上时，称为仰角，当视线在水平线之下时，称为俯角。这些概念，应在解题时结合实例，对照图形加以说明。返回下一张上一张3解斜三角形的问题，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过这些三角形，得出实际问题的解。在这个过程中，贯穿了数学建模的思想，这种思想即是从实际问题出发，经过抽象概括，把它转化为具体问题中的数学模型，然后通过推理演算，得出数学模型的解，再还原成实际问题的

3、解。用流程图可表示为：流程图返回下一张上一张强化上述思维过程，既是本节重点，又是本节难点，应引起足够的重视。实际问题实际问题的解数学模型数学模型的解抽象概括推理演算还原说明流程图返回下一张上一张分析、建模求解检验4解斜三角形应用题的另一个难点是运算问题。由于具体问题中给出的数据通常为有效近似值，故运算过程一般较为复杂，必须借助于计算器进行运算。教师在讲解过程中，要通过题型示例，逐步引导学生达到算法简炼、算式工整、计算准确的要求。返回下一张上一张5如果将正弦定理、余弦定理看成是几个“方程”的话，那么解斜三角形

4、的应用题实质上就是把已知信息按方程的思想进行处理。解题时应根据已知和未知，合理选择一个“容易题”的方程，从而使解题过程简洁。返回上一张三教学过程具体内容返回（一）复习提问正弦定理余弦定理aｂｃ————=————=————sinAsinBsinca2=b2+c2－2bc·cosAb2=a2+c2－2ac·cosBC2=a2+b2－2ab·cosCb2+c2－a2cosA=————2bca2+c2－b2cosB=————2aca2+b2－c2cosC=————2ab解三角形的应用举例（1）返回讲授新课例1自动卸

5、货汽车采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆BC的长度（如图），已知车箱的最大仰角为60°，油泵顶点B与车箱支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为6°20´，AC长为1.40m，计算BC的长（保留三个有效数字）。1提出问题（1）展示例题:返回展示模型（二）讲授新课对照实体图，分清已知与所求，注意理解“最大仰角”、“油泵顶杆”等概念。建模（2）理解题意：（2）抽象出ABC（如图1乙）指出：这一实际问题可化归为“已知ABC的两边AB=1.95，AC=1.40，夹角A=66°20´，求第三边的长”

6、这一数学模型。2建立数学模型（1）提问：图中涉及到一个怎样的三角形？在ABC中，已知什么？要求什么？讨论3组织讨论求解（1）思考：可用什么方法求出BC？（2）同学们解答并演算，注意近似计算中出现的有关问题。（3）对同学们的解答进行讲评小结。例１解答余弦定理例１解答由余弦定理得BC2=AB2+AC2－2·AB·AC·cosA=1.952＋1.402－2·1.95·1.40·cos66°20′=3.571，∴BC≈1.89（m）.答：顶杆BC约长1.89m。例1变式应用下面把例1与物理学有关知识联系，作如下变

7、式：假定自动卸货汽车装有一车货物，货物与车箱底部的动摩擦因数为0.3，油泵顶点B与车箱支点A之间的距离为1.95米，AB与水平之间的夹角为6°20′，AC长为1.40米，当货物开始下滑时，计算BC的长（保留三个有效数字）。4例题变式训练分析这个问题的关键是根据货物克服摩擦力开始下滑时，求出车箱的倾角θ，分析：略解于是在△ABC中，AB=1.95，CA=1.40，∠CAB=θ＋6°20′，问题归结为“已知三角形的两边和它们的夹角，求第三边长”这一数学模型。倾斜的车箱可以看成一个斜面，设货物的重量为mg，当摩擦

8、力f≤mgsinθ时，货物开始下滑，设货物对斜面的压力为N，则f=μN=mgcosθ，当μmgcosθ≤mgsinθ，即μ≤tanθ时，货物下滑，开始下滑时μ=tanθ.由于μ=0.3时，θ=arctanμ=arctan0.3=16°42′;从而在△ABC中，∠BAC=16°42′+6°20′=23°02′，又已知AB=1.95,AC=1.40,故BC2=AB2+AC2－2·AB·AC·cos∠BAC=1.952