积分中值定理的叙述方式及其应用说课材料.doc

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1、积分中值定理的叙述方式及其应用精品文档第九讲积分第一中值定理的叙述方式及其应用积分第一中值定理无论在理论上或应用上都在积分学中有重要意义。深入掌握定理的条件、结论及其证明方法，并用它来解决问题是十分重要的。积分第一中值定理的叙述方式不同，应用它解决问题的方便程度也有所不同。目前一般的《数学分析》教材中，积分第一中值定理有如下的叙述方式：定理1设，且在不变号，则。关于定理1的叙述方式及相应的证明，有如华东师大、吉林大学、刘玉琏等编的数学分析教科书。定理1中的结论，可以改为。将闭区间改为开区间，有时应用起来更方便。定理2设，且在不变号，则。收集于网络，如

2、有侵权请联系管理员删除精品文档证明：因为所以在上有最大值M，最小值m，设。先证明存在常数有。（9。1）不妨设，则，且若，则与之间的任何数都可为。若，则，取，则，。现证定理2，若，定理2显然成立。今设。（1）若（9。1）式中的满足：，由于，所以存在，收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档，不妨设，因为在连续，从而，有。（1）若至少有一个等号成立，不妨设，则。若则定理已成立。假如，，则将导致矛盾。事实上，因为已有和。今将闭区间作等分，从左到右记各小区间为，并记。又记的长度为，则适当取，总可使积分。（9。2）因若对一切均有矛盾。又因为，（9。3）收集

3、于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档这里，，（9。4）由（9。2）、（9。3）、（9。4）知至少存在一个子区间，使其相应积分，注意到闭区间上的连续函数，记，则，从而矛盾。故。证明某些命题，应用定理2的结论比应用定理财的结论更为简单。例1．（第八讲第6题）设在连续，证明：。（武汉大学2003年试卷）证明：因为在连续，对任意的自然数，收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档因为，由的连续性，，所以，，从而有。所以，。例2．证明：证明：方法1：用定理1证明。，从而有，所以，，从而有，收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档，所以，。方法2：用定

4、理2证明。由定理睬，知。例3．证明不等式。证明：因为，，所以，。习题91．设在有连续导数，且，求证：。2．证明，若在连续，则。收集于网络，如有侵权请联系管理员删除