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1、10.3格林公式及其应用一、区域连通性的分类设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D,则称D为平面单连通区域,否则称为复连通区域.复连通区域单连通区域DD边界曲线L的正向:当观察者沿边界行走时,区域D内在他近处的部分总在他的左边.二、格林公式定理1证明yxoabDcdABCEX型Y型（ⅰ）同理可证yxodDcCEBA两式相加得若D是由一条按段光滑的闭曲线围成，且不满足X型又是Y型的区域,如图，以上条件,的格林公式，并相加即可.则可通过添加辅助线将其分为有限个既是然后逐块按(i)得到它们ABC(iii)若D是由几条闭曲线围成，如图，这时可适当证毕添
2、加直线段AB，CE，把区域化为(ii)的情况处理.注：若L为区域D的边界曲线，并取负方向，则推论:正向闭曲线L所围区域D的面积例如,椭圆所围面积xyoAB解为了使用格林公式,添加辅助线段它们与所围区域为D,则xyoLAB例2计算其中L为上半从O(0,0)到A(4,0).解为了使用格林公式,添加辅助线段它与L所围区域为D,则原式例3计算其中L为一无重点且不过原点的分段光滑正向闭曲线.解令设L所围区域为D,当时，由格林公式知记L和-l所围的在D内作圆周取逆时针方向,l的顺时针方向记为-l,区域为D1，对区域D1应用格林公式,得Gyxo三、平面上曲线积分与路径无
3、关的等价条件BA如果在区域G内有定理2.设D是单连通域,在D内具有一阶连续偏导数,(1)沿D中任意光滑闭曲线L,有(2)对D中任一分段光滑曲线L,曲线积分(3)(4)在D内每一点都有与路径无关.函数则以下四个条件等价:在D内是某一函数的全微分,即说明:积分与路径无关时,曲线积分可记为证明(1)(2)设为D内任意两条由A到B的有向分段光滑曲线,则(根据条件(1))证明(2)(3)在D内取定点因曲线积分则同理可证因此有和任一点B(x,y),与路径无关,有函数证明(3)(4)设存在函数u(x,y)使得则P,Q在D内具有连续的偏导数,从而在D内每一点都有证明(4)(1
4、)设L为D中任一分段光滑闭曲线,(如图),利用格林公式,得所围区域为证毕说明:根据定理2,若在某区域内则2)可用积分法求Pdx+Qdy在域D内的原函数:及动点或则原函数为取定点1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;解例5.验证是某个函数的全微分,并求出它的原函数.证:设则由定理2可知,存在函数u(x,y)使例6.验证在右半平面(x>0)内存在原函数,并求出它.证:令则由定理2可知存在原函数
