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1、一、高斯公式二、斯托克斯公式高斯公式与斯托克斯公式都是格林公式的推广.格林公式建立了平面区域上的二重积分与其边界曲线上的第二型曲线积分之间的关系;§3高斯公式与斯托克斯公式数学分析第二十二章曲面积分*点击以上标题可直接前往对应内容高斯公式建立了空间区域上的三重积分与其边界曲面上的第二型曲面积分之间的关系;斯托克斯公式建立了空间曲面上的第二型曲面积分与其边界曲线上的第二型曲线积分之间的关系.定理22.3设空间区域由分片光滑的双侧封闭曲面S围成.上连续,若函数P,Q,R在其中S取外侧.(1)式称为高斯公式.§3高斯公式与斯托克斯公式高斯公式斯托克斯公式高斯公式后
2、退前进目录退出则且有一阶连续偏导数,证下面只证这些结果相加便得到高斯公式(1).先设V是一个xy型区域,即其边界曲面S由曲面证明其余两式:读者可类似§3高斯公式与斯托克斯公式高斯公式斯托克斯公式及垂直于的柱面组成(图22-7),于是按三重积分的计算方法,有§3高斯公式与斯托克斯公式高斯公式斯托克斯公式其中其中都取上侧.积为零,§3高斯公式与斯托克斯公式高斯公式斯托克斯公式平面上投影面又由于所以从而得到对于不是xy型区域的情形,一般可用有限个光滑曲面将它分割成若干个xy型区域来讨论.§3高斯公式与斯托克斯公式高斯公式斯托克斯公式例1计算其中S是边长为a的正立方
3、体表面并取外侧.解应用高斯公式,§3高斯公式与斯托克斯公式高斯公式斯托克斯公式注若在高斯公式中则有于是得到应用第二型曲面积分计算空间区域V的体积的公式:§3高斯公式与斯托克斯公式高斯公式斯托克斯公式解由于曲面不是封闭的,不能直接应用高斯公式.为了能使用高斯公式以方便计算,可补一块平面并取下侧,闭曲面.于是§3高斯公式与斯托克斯公式高斯公式斯托克斯公式例2计算其中为曲面上的部分,并取上侧.构成一封则而因此§3高斯公式与斯托克斯公式高斯公式斯托克斯公式证以为球心作一半径充分小的球面使全部落在所包含的区域内部,并将坐标原点取在处.由电学知识,在点处的电场强度为§3
4、高斯公式与斯托克斯公式高斯公式斯托克斯公式例3证明电学中的高斯定理:在由点电荷所产生的静电场中,电场强度向外穿过任何包含在其内部的光滑封闭曲面的电通量都等于所以穿过的电通量为其中取外侧,是包围的半径为的球体.§3高斯公式与斯托克斯公式高斯公式斯托克斯公式其中易验证(参见图22-8)设所以穿过的电通量为§3高斯公式与斯托克斯公式高斯公式斯托克斯公式在与所围的空间区域上应用高斯公式,界的外测是的外侧和的内侧.其边因为先对双侧曲面S的侧与其边界曲线L的方向作如下设有人站在S上指定的一侧,若沿L行走,指定的侧总在人的左方,若沿L行走,指定的侧总在人的右方,则人前进的
5、方向为边界线L的负向.手法则,如图22-9所示.斯托克斯公式规定:的正向;§3高斯公式与斯托克斯公式高斯公式斯托克斯公式则人前进的方向为边界线L这个规定也称为右定理22.4设光滑曲面S的边界L是按段光滑的连续曲线.函数P,Q,R在S(连同L)上连续,且有一阶连续偏导数,§3高斯公式与斯托克斯公式高斯公式斯托克斯公式其中S的侧与L的方向按右手法则确定.若则有斯托克斯公式如下:证先证其中曲面S由方程确定,(3)§3高斯公式与斯托克斯公式高斯公式斯托克斯公式向数为方向余弦为所以它的正侧法线方若S在xy平面上的投影为区域平面上的投影为曲线公式有现由第二型曲线积分定义
6、及格林所以因为§3高斯公式与斯托克斯公式高斯公式斯托克斯公式(3)由于§3高斯公式与斯托克斯公式高斯公式斯托克斯公式从而(3)将(3),(4),(5)三式相加,即得公式(2).如果S不能以的形式给出,光滑曲线把S分割为若干小块,综合上述结果,便得到所要证明的(3)式.当曲面S表示为时,同样可证§3高斯公式与斯托克斯公式高斯公式斯托克斯公式种形式来表示.因而这时(2)式也能成立.则可用一些使每一小块能用这为了便于记忆,斯托克斯公式也常写成如下形式:§3高斯公式与斯托克斯公式高斯公式斯托克斯公式解应用斯托克斯公式推得:§3高斯公式与斯托克斯公式高斯公式斯托克斯公
7、式例4计算其中面的交线,取图22-8所示的方向.与各坐标车胎状的环形区域则是非单连通的.与平面曲线积分相仿,空间曲线积分与路线的无关性也有下面相应的定理.不经过V以外的点而连续收缩于属于V的一点.如:两同心球面所界定的区域仍是单连通的;区域V称为单连通的,注上述之单连通,又称为“按曲面单连通”.义是:对于V内任一封闭曲线L,均能以L为边界,绷起一个位于V中的曲面.例§3高斯公式与斯托克斯公式高斯公式斯托克斯公式如果V内任一封闭曲线皆可而形如其意定理22.5与路线无关;(i)对于内任一按段光滑的封闭曲线L有(ii)对于内任一按段光滑的封闭曲线L,曲线积分等价的
8、:上连续,且有一阶连续偏导数,设为空间单连通区域.若
