高等数学 第五章 定积分及其运用应用课件.ppt

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1、Oyxxxxxxxabx设yf(x)0(x[a，b])．A(x)f(t)dtA(x)f(t)dt是以[a,x]为底的曲边梯形的面积．A=f(x)dx是以[a,b]为底的曲边梯形的面积．§5.4定积分在几何问题中的应用举例一、定积分的元素法曲边梯形面积A(x)的微分为dA(x)f(x)dx，点x处，高为f(x)、宽为dx的矩形的面积为：f(x)dx．Oyxx+dxabDAf(x)dx，且DAf(x)dxo(dx)．f(x)dx称为曲边梯形的面积元素．x以dx为宽的曲边梯形面积为：DA．以[

2、a，b]为底的曲边梯形的面积A就是以面积元素f(x)dx为被积表达式，以[a，b]为积分区间的定积分：A(x)f(t)dtAf(x)dx一般情况下，为求某一量U(不一定就是面积，即使是面积也不一定是曲边梯形的面积)，先将此量看成是某区间[a，b]上的函数U(x)，再求这一量在[a，b]上的元素dU(x)，设dU(x)u(x)dx，然后以u(x)dx为被积表达式，以[a，b]为积分区间求定积分即得用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法)．Uu(x)dx．注：量U的特点：1：与区间[a,b]有关

3、；2：具有可加性。微元法的步骤：1：取积分变量并决定其变化区间[a,b]；2：在区间[a,b]上找一小区间[x,x+△x],得微元△U≈f(x)dx=dU，且△U－dU=o(dx)3:在区间[a,b]上相加(在[a,b]上做定积分)得主要思想：以直代曲；以不变代变。二、平面图形的面积Oyxaby=f上(x)y=f下(x)xx+dx求由曲线y=f上(x)、y=f下(x)及直线x=a、x=b所围成的图形的面积．面积元素为：所求图形的面积为：[f上(x)-f下(x)]dx．A=[f上(x)-f下(x)]dx．1.

4、直角坐标的情形讨论：下图形的面积元素是什么？面积公式是什么？aby=f上(x)y=f下(x)OyxA1Oyxaby=f上(x)y=f下(x)A2Oxycdx=f左(y)x=f右(y)A3A1=A2=[f上(x)-f下(x)]dx．Oyxab求由曲线y=f上(x)、y=f下(x)及直线x=a、x=b所围成的图形的面积，也可以按如下方法求面积：所求的图形的面积可以看成是两个曲边梯形面积的差y=f上(x)y=f下(x)y=f下(x)A=f上(x)dx-f下(x)]dx．例1计算由两条抛物线：y2x、yx2所围

5、成的图形的面积．解在区间[0,1]上过x点且垂直于x轴的直线左侧的面积记为A(x)，于是面积元素为得所求的图形面积以[0,1]为积分区间求定积分011xyxx+dx直线平移dx后所产生的面积的改变量近似为A(x)y2xyx2DA(x2)dx，以(x2)dx为被积表达式，dA=(x2)dx，例2计算抛物线y22x与直线yx4所围成的图形的面积．解02468x42-2y2=2xy=x-4(8,4)(2,-2)例2计算抛物线y22x与直线yx4所围成的图形的面积．解求两曲线的交点得：(2，

6、2)，(8，4)．将图形向y轴投影得区间[2，4]．A(y)为区间[2，4]上过y点且垂直于y轴的直线下侧的面积．直线平移dy后所产生的面积的改变量近似为于是面积元素为所求的图形面积为DA(y4y2)dy，dA=(y4y2)dy，02468x42-2y2=2xy=x-4(8,4)(2,-2)解设椭圆在第一象限的面积为A1，则椭圆的面积为A4A1．第一象限的部分椭圆在x轴上的投影区间为[0，a]．因为面积元素为ydx，于是A4A1ab．椭圆的参数方程为:ybsint，xacost，

7、yxOabydx所以2.极坐标的情形曲边扇形及曲边扇形的面积元素：由曲线r()及射线，围成的图形称为曲边扇形．曲边扇形的面积为xOr()+d曲边扇形的面积元素：例4计算阿基米德螺线ra(a>0)上相应于从0变到2的一段弧与极轴所围成的图形的面积．解Ox2parad例5计算心形线ra(1cos)(a>0)所围成的图形的面积．解Oxra(1cos)2a)qdq三、体积旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转

8、轴．常见的旋转体：圆柱、圆锥、圆台、球体．1.旋转体的体积旋转体都可以看作是由连续曲线yf(x)、直线xa、ab及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体．Oxbayyf(x)aOxbyyf(x)设过区间[a，b]内点x且垂直于x轴的平面左侧的旋转体的体积为V(x)，旋转体的体积为dV[f(x)]2dx，于是体积元素为DV[f(x)]2dx，当平面右平移dx后，体积的增量近似为V(x)dxf