《定积分及其应用》PPT课件

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1、第六章定积分及其应用在上一章我们研究了求导问题的逆问题，即不定积分问题．本章我们将研究微小量的无限累加问题，即定积分问题．微积分基本定理是本章的重要内容，该定理建立了定积分与原函数之间的关系，使得第五章的知识在第六章当中得到进一步的运用．§6.1定积分§6.2微积分基本定理§6.3定积分的换元积分法与分部积分法§6.4反常积分第六章§6.5定积分在几何上的应用§6.6定积分在经济上的应用小结定积分的概念定积分的性质定积分问题举例6.1定积分第六章定积分及其应用一、定积分问题举例1.曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线以及两直线所围成,求其面积A.矩形面积梯形面积1)大化小.在区间[a,

2、b]中任意插入n–1个分点用直线将曲边梯形分成n个小曲边梯形;2)常代变.在第i个窄曲边梯形上任取作以为底,为高的小矩形,并以此小矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得解决步骤3)近似和.4)取极限.令则曲边梯形面积解决步骤2.收益问题(1)分割:(2)近似代替:(3)求和:(4)取极限:设某商品的价格P是销售量x的函数P=P(x)，设x为连续变量．求当销售量从a变动到b时的收益R为多少？上述两个问题的共性:解决问题的方法步骤相同:“大化小,常代变,近似和,取极限”所求量极限结构式相同:特殊乘积和式的极限一、定积分问题举例二、定积分的概念定积分的定义在小区间[xi1,xi]上任取一点x

3、i(i1,2,,n),作和max{Dx1,Dx2,,Dxn};记Dxi=xi-xi1(i1,2,,n),ax0

4、定积分的定义函数的可积性如果函数f(x)在区间[a,b]上的定积分存在,则称f(x)在区间[a,b]上可积.定理1(充分条件)如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,则函数f(x)在区间[a,b]上可积.定理2(充分条件)如果函数f(x)在区间[a,b]上有界,且只有有限个间断点,则函数f(x)在区间[a,b]上可积.定积分的定义定积分的几何意义当f(x)0时,f(x)在[a,b]上的定积分表示由曲线yf(x)、直线xa、xb与x轴所围成的曲边梯形的面积.当f(x)0时,f(x)在[a,b]上的定积分表示曲边梯形面积的负值.解定积分的值就是涂阴影的圆的1/4面积．由圆形面积公

5、式有例题一利用定积分的几何意义求.三、定积分的性质两点规定性质1性质1性质2性质3性质4例题二的值．解由定积分的性质，有推论1如果在区间[ab]上f(x)g(x)则如果在区间[ab]上f(x)0则性质5

6、f(x)

7、f(x)

8、f(x)

9、推论2性质6设M及m分别是函数f(x)在区间[ab]上的最大值及最小值则例题三解利用保序性比较下列定积分的大小：（1）与（2）与例题四解估计积分的值.即如果函数f(x)在闭区间[ab]上连续则在积分区间[ab]上至少存在一个点x使下式成立这是因为,由性质6性质7(定积分中值定理)——积分中值公式由介值定理,至少存在一点x

10、[a,b],使两端乘以ba即得积分中值公式.例题五求极限：原式思考题总练习总练习答案定积分的实质：特殊和式的极限．定积分的思想和方法：小结分割化整为零求和积零为整取极限精确值——定积分求近似以直（不变）代曲（变）取极限作业P1843、4谢谢！