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1、第五章定积分及其应用习题5-11.如何表述定积分的几何意义？根据定积分的几何意义推出下列积分的值：（1）,（2）,（3）,（4）.解：若在几何上表示由曲线，直线及轴所围成平面图形的面积.若时，在几何上表示由曲线，直线及轴所围平面图形面积的负值.（1）由下图（1）所示，.2A(2)-1-1111A1A(1)1-13A4A5A2ππ(3)11(4)（2）由上图（2）所示，.（3）由上图（3）所示，.（4）由上图（4）所示，.2.设物体以速度作直线运动，用定积分表示时间从0到5该物体移动的路程S.解：3.用定积分的定义计算定积分,其中为一定常数.解：任取分点,把分成个
2、小区间，小区间长度记为=-,在每个小区间上任取一点作乘积的和式：,记,则.4.利用定积分定义计算.解：连续函数，故可积，因此为方便计算，我们可以对等分，分点取相应小区间的右端点，故===当（即），由定积分的定义得：=．5.利用定积分的估值公式，估计定积分的值.解：先求在上的最值，由,得或.比较的大小，知，由定积分的估值公式，得,即.6.利用定积分的性质说明与，哪个积分值较大？解：在区间内：由性质定理知道：7.证明：。证明：考虑上的函数，则，令得当时，，当时，∴在处取最大值，且在处取最小值.故，即。8.求函数在闭区间[-1，1]上的平均值.解：平均值9.设在[0，
3、1]上连续且单调递减，试证对任何有.证明：==，其中又单调减，则，故原式得证.习题5.21.计算下列定积分（1）;（2）;（3）;(4).解：（1）（2）=+==4+.（3）=+==2+2=4.(4)=.2.计算下列各题：（1），（2），（3）,（4）,（5）,（6）,（7）,（8）,（9）,（10）,（11）解：（1）=.（2）=.（3）.（4）=.（5）.（6）.（7）===.(8)==.(10)===.（10）===.3.求下列极限（1）.（2）.解：（1）此极限是“”型未定型，由洛必达法则，得==（2）4.设，求y的极小值解：当，得驻点，为极小值点，极小
4、值5.设，求。解：6.设，求。解：当时，当时，当时，，故7.设是连续函数，且，求。解：令，则，从而即，，∴8．。解：原式9．求由所决定的隐函数对的导数。解：将两边对求导得，∴习题5.31.下面的计算是否正确，请对所给积分写出正确结果：（1）===.（2）===2=2.答：（1）不正确，应该为：=（2）不正确，应该为：=2.2.计算下列定积分:(1),(2).（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；(10)；(11)；（12）。解：（1）令=,则,当=0时，=0；当=4时，，于是=（2）==.(3)(4)(5)令，，，时；时，.于是(6)令，则，.
5、当时，，当时，.原式.(7)令，.当时，；当时，.原式(8)因为=从而=.(9)原式(10)原式(11)原式（12）设，，于是=3.计算下列定积分：（1）；（2）；（3）；（4）；(5)；(6)；(7)；(8)；（9）；（10）。解：（1）===.(2)==＝=1(3)==移项合并得.（4）（5）（6）（7）（8）（9）而,故.（10）4.利用函数的奇偶性计算下列积分：（1）;(2)；(3);（4）.解：(1)=(2)原式(3)∵为奇函数，∴（4）利用定积分的线性性质可得原式，而前两个积分的被积函数都是奇数，故这两个定积分值均为0，原式5.如果，且求解：由已知条
6、件得，即，，即得。6.若在区间上连续,证明(1)=(2)=,由此计算证明：（1）设.且当时，；当故（2）设，=利用此公式可得：====.7.设在上连续，证明。证明.令，，则故.8.设是以为周期的连续函数，证明：。证明.令，则(∵以为周期)故9.设在上连续，证明：证明利用分部积分法，=习题5.41.下列解法是否正确？为什么？.答：不正确.因为在[，]上存在无穷间断点，不能直接应用公式计算，事实上，++++不存在,故发散.2.下列广义积分是否收敛？若收敛，则求出其值.（1）；（2）；（3）；（4）（5）；（6）；解：（1）=,发散.（2）=（3）（4）（5）=.（6
7、），发散3.下列广义积分是否收敛？若收敛，则求出其值.（1）（2）（3）解：（1）=+=(2)令，于是(3)。4.证明广义积分当时收敛；当时发散。证明：当，发散；当=。5.已知，求常数解：左端右端∴，解之或。习题5.51、求由下列曲线围成的平面图形的面积：（1）及直线；解：如图，解方程组，得交点，所求面积为.（2）与（两部分均应计算）；解：如图，解方程组，得交点、，所求上半部分面积为.所求下半部分面积为（3）与直线；解：如图，解方程组，得交点，所求面积为.（4）轴与直线.解：选为积分变量，如图，所求面积为2.求二曲线与所围公共部分的面积解：当等于0和时，两曲线相
8、交，所围公共部分的面积为
